Реферат: Элементы теории устойчивости

Т. о., два первых положения описывают так называемые «некритические» случаи, в которых можно дать ясный ответ на вопрос об устойчивости нелинейной системы на основании исследования системы первого приближения. Третье положение соответствует «критическому» случаю, когда определенный вывод об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы  можно сделать только при дополнительном исследовании уравнений с учетом нелинейных слагаемых более высоких порядков малости, чем первый.

Методы анализа устойчивости линейных и линеаризованных систем.

Итак, для определения устойчивости такой системы необходимо определение всех корней ее характеристического уравнения до единого. Однако в системах высокого порядка вычисление корней весьма затруднительно. При этом часто приходится прибегать к численным методам, что еще более затрудняет задачу.

Чтобы избежать указанных трудностей и не вычислять вообще корней характеристического уравнения был разработан ряд методов, так называемых критериев устойчивости. При их помощи можно определить характер устойчивости или неустойчивости системы, не вычисляя корней характеристического уравнения.

В настоящее время известно множество критериев устойчивости, позволяющих решать задачу при различных, конкретных условиях. Таковы алгебраический критерий Гурвица, критерий Рауса, частотный критерий Найквиста  с различными дальнейшими модификациями, например, Михайлова, и др. Несмотря  на формальное различие перечисленных критериев друг от друга, по сути все они основаны на известной теореме теории функций комплексного переменного, а именно, теореме Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.

Поскольку критерии устойчивости обстоятельно изложены в литературе, в дальнейшем  ограничимся подробным рассмотрением лишь двух из множества критериев: Гурвица и Рауса.

 

Необходимое условие устойчивости.

            Пусть характеристическое уравнение линейной или линеаризованной системы уравнений (12) возмущенного движения представлено в виде (17), причем, для определенности

В противном случае уравнение умножают на –1.

            Нетрудно доказать следующее необходимо условие устойчивости. Для устойчивости линейной системы любого порядка необходимо, но не достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.

            Иными словами, если линейная система устойчива, то коэффициенты ее характеристического уравнения положительны, но не наоборот.

            При доказательстве положим, что система заведомо устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части:

            Характеристическое уравнение (17), как известно, можно записать в виде:

           

Тогда, подставляя (24) в (25), получим

            Последнее соотношение можно записать в следующей форме:

           

Легко сообразить, что, раскрывая скобки и перемножая сомножители в последнем выражении, можно получить только положительные коэффициенты в характеристическом уравнении (17).

            Тем самым доказано утверждение, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (28), (23), если система устойчива.

Критерий Гурвица.

            Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства.

            Общий определитель Гурвица Δn имеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов aν (23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:

            Частные определители Гурвица имеют вид:

и так далее. Общий определитель Δn может быть разложен по последнему столбцу и составит:

           

Критерий Гурвица формулируется следующим образом.

            Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n частных определителей Гурвица Δν­, ν=1,2,..n, получаемых из общего определителя (30), (31), составленного из коэффициентов а0, а1, а2,...аn характеристического уравнения (17), были положительны:

откуда, в частности, вытекает условие

            Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).

            Тогда для системы первого порядка с характеристическим уравнением

условием  устойчивости в соответствии с критерием Гурвица будет

            Для системы второго порядка с характеристическим уравнением

условия устойчивости согласно критерию Гурвица примут вид:

Из последних двух условий получим:

            Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).

            Наконец, рассмотрим систему третьего порядка с характеристическим уравнением

                Для которой на основании критерия Гурвица можно записать следующие условия устойчивости:

Из этих неравенств получаем:

            Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.

            Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.

Критерий Рауса.

Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.

Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.

ФОРМУЛА 42

В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается.

Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.

Следует отметить, что критерий Рауса неприменим в двух случаях. Во-первых, когда какой-либо элемент первого столбца, начиная со второго, равен нулю. Тогда все члены следующей строки будут равны бесконечности. Во-вторых, когда все элементы второй или любой из следующих строк равны нулю. В этих специальных случаях необходимо использовать для анализа другие методы.

Для примера рассмотрим уравнение:

Сопоставляя (43) с (17), можно записать

Тогда таблица Рауса будет иметь следующий вид:

Замечаем, что знак элементов первого столбца таблицы сначала изменяется с плюса на минус, а затем – опять на минус. Это означает, что уравнение имеет два корня с положительными вещественными частями. Действительно, корнями уравнения (43) являются:

            Следует иметь в виду, что для упрощения вычислений можно разделить (или умножить) все элементы любой строки на положительное число, прежде чем использовать их для получения следующей строки. Очевидно, что такая операция не изменит знака членов следующей строки и не отразится на конечном результате. Например, элементы третьей строки таблицы (45) можно было бы разделить на 8 для упрощения последующих вычислений.

Анализ результатов устойчивости в нелинейных системах.

При исследовании устойчивости в цепях постоянного тока при малых возмущениях обнаружение неустойчивости возможно только при наличии элементов с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Элементы с «падающими» участками на вольт - амперной характеристике, как известно, разделяются на две группы.

К первой группе относятся элементы с S – образной ВАХ, например, электрическая дуга. У них ток относительно напряжения является неоднозначной функцией, т. е. при определенных напряжениях при их плавных изменениях теоретически возможны резкие изменения, так называемые «скачки» тока. Однако, опыт показывает, что при этом в такой цепи всегда присутствует небольшая паразитная индуктивность, которая «сглаживает» скачкообразные изменения, не допуская скачкообразного изменения энергии магнитного поля, поскольку оно в реальной системе невозможно.

По этой причине при исследовании устойчивости в таких цепях нелинейное сопротивление с S – образной ВАХ представляют в виде последовательного соединения его дифференциального сопротивления и малой начальной индуктивности.

У элементов с N – образной ВАХ напряжение является неоднозначной функцией тока. Здесь при определенных токах при их плавных изменениях теоретически возможны скачкообразные изменения напряжения, которые, однако, в реальных системах предовращаются наличием малой паразитной емкости. Поэтому при исследовании устойчивости в таких цепях нелинейное сопротивление с ВАХ  N – типа заменяют эквивалентной схемой с параллельным соединением дифференциального сопротивления и малой паразитной емкости.

 

Устойчивость точки равновесия электрической дуги.

В качестве примера цепи постоянного тока рассмотрим электрическую дугу с ВАХ S - типа. С учетом паразитной индуктивности  L цепь имеет эквивалентную схему, представленную на рис. ??????. Уравнение цепи на основании закона Кирхгофа имеет вид:

            В состоянии равновесия ток в цепи i не должен изменяться во времени t:

Поэтому уравнение примет вид:

Запишем уравнение возмущенного  движения, полагая при этом

где ξ(t) – малое возмущение; тогда получим:

Разложим функцию U(i) в ряд в точке I­­0­ по степеням малых возмущений ξ и ограничимся величинами первого порядка малости, пренебрегая всеми членами более высоких порядков малости:

Обозначим величину дифференциального сопротивления нелинейного сопротивления Rd в точке i=I0:

Тогда подставляя (53), (52), (49) в (51) получим линеаризованное уравнение цепи:

где

Представляя решение (54) в виде

получим характеристическое уравнение системы

и явную зависимость ξ(t) в следующей форме:

Следовательно,  состояние линейной системы (54) асимптотически устойчиво, а исходная нелинейная система (51) устойчива в обычном смысле. Если выполняется условие

Используя обозначение (55) окончательно получаем:

Последнее выражение представляет собой известный критерий Кауфмана для устойчивой рабочей точки электрической дуги.

Устойчивость решений уравнения Дуффинга.

Запишем уравнение движения неконсервативного нелинейного осциллятора, находящегося под гармоническим внешним воздействием, для случая среды с вязким трением (7.2), (11.1)

1)    Формулы с двойными номерами здесь – (7.2), (11.1) -  и ниже – (7.5), (3.20), (9.5), (11.3), (11.5) – цитируются по книге [4].

2) Поскольку символ λ использован везде в настоящем разделе для обозначения корней характеристических уравнений.

где символом δ обозначена в соответствии с (7.5) удельная вязкость среды; ω0, μ – (3.20), F – (9.5).

Правую часть уравнения можно представить в виде суммы синусной и косинусной компоненты:

где F1, F2 определяются выражениями (11.3) и справедливы формулы (11.5).

При исследовании устойчивости для описания поведения рассматриваемой системы при появлении малых возмущений необходимо использовать полную подстановку Ван дер Поля:

            где a(t), b(t) – медленно изменяющиеся функции. Вычислим первую и вторую производные функции y(t) по времени t:

           

            Используя медленность изменения функции a(t), b(t) и малость параметра δ, пренебрежем в формулах (64) слагаемыми вторых порядков малости:

Подставив последние выражения и (63) в уравнение (61), получим:

Тригонометрический двучлен третьей степени в левой части равенства без учета всех компонент, кроме колебаний с основной частотой ω может быть представлен в следующем виде:

Подставив это выражение в предыдущие и сгруппировав слагаемые с одинаковыми тригонометрическими функциями получим два соотношения:

Отсюда, разрешая равенства относительно a, b, можно записать систему «укороченных» уравнений:

Рассмотрим стационарное решение:

Тогда для определения амплитуд стационарных колебаний a0­­, b0 на основании системы (69) получаем алгебраические уравнения:

Ранее решение (11.6) было получено в частном случае наличия одного только синусного колебания:

            При этом из (71) получаем выражения:

совпадающие, как и следовало ожидать,  с (11.9). Тогда. Использую (11.5), (73) можно записать формулу (11.10):

Определяющую резонансную зависимость рассматриваемого осциллятора |a0|(ω) или его «управляющую» характеристику |a0|(F).

Для исследования устойчивости полученных стационарных колебаний с амплитудами a0, b0 (70), (71) введем теперь в рассмотрение их малые возмущения ξ(t),η(t):

где

Тогда  подставляя (75) в укороченные уравнения (69) и используя условия для стационарных амплитуд (71), получим нелинейную систему возмущенного движения в следующем виде:

Анализируем уравнения (77), используя малость возмущений (76):

где постоянные коэффициенты aνm для частного случая, рассмотренного ранее (72), определяются так:

Записывая возмущения в экспоненциальной форме (13), получая систему алгебраических уравнений (14), приравнивая нулю определитель этой системы (15), (16), окончательно получаем характеристическое уравнение в виде:

или

Следовательно, необходимые и достаточные условия устойчивости линеаризованной системы можно записать так:

или, используя обозначения (79)

Первое из этих условий в рамках рассматриваемой задачи, очевидно, выполняется всегда. Второе условие требует более детального анализа. Чтобы его осуществить, определим зависимость F(a0) на основании соотношения (74):

и вычислим производную dF/da0:

Последнее выражение легко преобразовать к виду:

Если теперь в этой зависимости амплитуду вынужденных колебаний a0 (11.6) заменить на модуль этой величины |a0|, как это обычно делается при построении резонансных характеристик |a0|(ω) осцилляторов и их управляющих характеристик |a0|(F), то никаких изменений в соотношении (86) не произойдет. В частности, знак производной не изменится. Таким образом, коэффициент при фигурной скобке в (86) является величиной существенно положительной.

Тогда, сравнивая выражение, заключенное в фигурные скобки в (86) с условием (83) видим, что условие устойчивости идентично условию положительности производной.

или условию положительности обратной величины

Следовательно, все точки управляющей характеристики осциллятора с положительным наклоном касательной соответствует устойчивым режимам колебаний. На рисунках?????????????? и 12.3 эти ветви изображены сплошными кривыми. «Падающей» ветви характеристики соответствуют неустойчивые колебания. На рис?????????? Эта ветвь представлена пунктиром, а на рис. 12.3 вообще отсутствует.

В переходных точках перегиба кривой

имеет место упомянутый ранее «критический» случай, поскольку можно показать, что появляются корни характеристического уравнения с равными нулю вещественными частями. Анализа устойчивости на основе линейного приближения здесь оказывается недостаточно. Устойчивость или неустойчивость в этих точках определяют слагаемые высших порядков малости в уравнениях возмущенного движения.