Быстрый поиск

Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

випливає, що

А оскільки всі виражені через добутки то многочлен f(, , xn) подано як многочлен від основних симетричних функцій f(, , xn) = (9)

коефіцієнти якого знайдено з коефіцієнтів даного многочлена за допомогою операцій додавання і віднімання і тому належать полю Р. Теорему доведено. Справедлива також теорема про є д.и н і с т ь многочлена

2) Доведення єдиності.

Нехай маємо

f(, , xn) =

Тоді різниця

повинна дорівнювати нулю при будь-яких значеннях x1, x2, …, xn.

Зауважимо, що многочлен можна розглядати двояко:як многочлен від x1, x2, …, xn (бо від цих змінних залежать ) і як многочлен від нам треба розглянути останнє. Єдиність зображення (9) полягає саме в тому, що многочлени, мають однакові відповідні коефіцієнти, тобто що многочлен має коефіцієнти які дорівнюють нулю, в усіх членах . Але залежні між собою, бо виражаються через ті самі змінні , , xn. У зв'язку з цим поряд з многочленом від залежних змінних розглянемо такий самий многочлен від незалежних змінних . Тепер нам треба довести, що коли той . Те саме можна сформулювати й інакше: нам треба довести, що коли , то тоді й .

Доведемо це методом математичної індукції по n. Нехай n=1 і . Через те, що в цьому разі дорівнює x1, то , бо , що те саме, що й

Нехай тепер п > 1, і наше твердження правильне для будь-якого числа змінних, меншого п. Чи може бути воно несправедливим для якогось многочлена від п змінних? Припустимо, що це так і існує многочлен такий, що , але . Подамо за степенями yп

де — многочлени від , за нашим припущенням

(11)

Оскільки , то хоч би один з його коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважати, що . Якщо , то надалі міркування проводять відносно многочлена , який дістаємо з після скорочення на. Виходить, що при уп = 0

(12)

З другого боку, візьмемо в (11) хп = 0. Тоді , а інші , перетворюються в основні симетричні функції від (п-1) змінних. Позначимо їх через .Отже, при хп = 0 з (11) дістаємо:

, 0) = (13)

Порівнюючи (12) з (13) бачимо, що ми прийшли до суперечності з припущенням індукції, а тому висловлене твердження справедливе і для п.

Єдиність зображення (9) доведено.

З основної теореми теорії симетричних многочленів можна зробити важливий висновок.

Теорема 2: Якщо f(x) — многочлен від однієї змінної над полем Р з коренями (які можуть не належати Р), то будь-який симетричний многочлен f (x1, x2, …, xn) над полем Р при набуває значення, яке є елементом поля Р.

Доведення. Нехай дано якийсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вигляді) над полем Р:

(14)

Позначимо корені цього многочлена через ; вони можуть і не належати полю Р. Візьмемо тепер довільний симетричний многочлен над Р від п змінних. За основною теоремою теорії симетричних многочленів, многочлен можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій з коефіцієнтами з поля Р, тобто

Візьмемо тепер тут . Тоді за формулами Вієта всі основні симетричні функції дорівнюватимуть відповідним коефіцієнтам многочлена (14) з належним знаком:

……………………………………………………………

У зв'язку з цим

Але тоді елемент поля Р як результат ви конання операцій додавання і множення над елементами з поля Р. Таким чином, . Отже, ми довели таке твердження.

У ряді питань доводиться зустрічатися з задачею побудови за даним многочленом f(х) є Р [х] з коренями такого многочлена g(у), корені якого виражаються через відповідні корені за допомогою деякого многочлена у = f(х) над полем Р; . Найпростіші задачі такого типу зустрічаються в шкільному курсі алгебри для Р = Q. Оскільки коефіцієнти многочлена g(у) відповідно до формул Вієта визначаються рівностями

……………………………………………………………

то вони є значеннями деяких симетричних многочленів над Р, аргументи яких є коренями даного многочлена f(х). З oсновної теореми теорії симетричних многочленів випливає, що завжди можна знайти вираз коефіцієнтів через коефіціeнти даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, що знайдений многочлен належатиме тому самому кільцю Р [х], що й даний многочлен.

Зауважимо, що сказане залишається справедливим і для більш загального випадку, коли ,де - довільні симетричні многочлени над полем Р.

Розглянутий вище метод доведення основної теореми можна використати для практичного зображення симетричних многочленів через основні симетричні функції.

Приклад. Подати симетричний многочлен над полем

через основні симетричні функції. Як і при доведенні теореми, запишемо цей многочлен як суму однорідних многочленів. Дістанемо:

де

Спочатку подамо через основні симетричні многочлени. Вищий його член є . Згідно з методикою доведення теореми, від слід відняти многочлен

бо система показників у вищому члені є 2, 1, 0. Але немає потреби фактично виконувати це віднімання. Спираючись на можливість і єдиність зображення даного многочлена у вигляді многочлена досить визначити можливий вигляд членів і скористатися методом невизначених коефіцієнтів.

У різниці знищаться всі члени виду з довільною перестановкою показників 2, 1, 0. Проте одночасно можуть з'явитися члени того самого степеня 3, але з іншою, нижчою системою показників, а саме: 1, 1, 1. Отже, потім треба буде відняти симетричний многочлен

Тому можна записати: ,

де а — невизначений поки що коефіцієнт, тобто:

Щоб знайти а, досить надати деяких числових значень змінним наприклад = 1. Тоді дістанемо 6 = 9 + а. Отже, а = 3. Таким чином,

Аналогічно міркуватимемо відносно многочлена

Можливі системи показників тут будуть 2, 0, 0 і 1, 1, 0. Отже, відніматимемо такі многочлени:

І далі, аналогічно до попереднього, . При = 1 маємо 3 = 32 + b 3, тобто b = 2 і тому

(15)

Отже, дістаємо остаточно

РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв’язування систем рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих . За основною теоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки є многочленом другої степені від x, y). Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих простіше, ніж розв’язування первинної системи.