Быстрый поиск

Курсовая работа: Нелинейные САУ

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”

на

тему:

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

Выполнил: ст-т гр. АК4-81

Смык В.Л.

Реутов 1997 г.

На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.

“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.

Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар

устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система

x=Ax+bx, s=c’x, (1)

где x и s - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого m, £ m £

система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.

Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей x=j(s,t), удовлетворяющих условию

£ j(s,t)/s £ (2)

достаточно, чтобы при всех w, -¥<w<+¥, выполнялось соотношение

Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0. (3)

Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x,s)=(s-x)(x-s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw,x) имеет вид

F(jw,x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|

Из этой формулы после сокращения на |x| следует (3).

В (3) ¹-¥ , ¹+¥. Случай, когда либо =-¥, либо =+¥ рассматривается аналогично.

Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(jw).

Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

Re[(1+z)(1+z)]£0, если ¹-¥ , ¹+¥. (4)

Re[(1+z)z]£0, если ¹-¥ , ¹+¥. (5)

Re[z(1+z)]£0, если ¹-¥ , ¹+¥. (6)

Пусть С() - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов () в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.

Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству

(s-x)(x-s)³0 (7)

Рисунок 1, а.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.

А Х Y У (P) Z

(-)

G(p) g

Рисунок 2.

Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид:

W(p)=;

(8)

W(p)=;

Алгоритм регулятора имеет вид:

y=Yx,

при gx>0

Y= (9)

- при gx<0,

g=(

В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:

=-, (10)

k при g>0

где =

- k при g<0,

g=c+; =.

Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при

W(p)= в уравнениях (10) имеем:

(11)

а при W(p)= имеем:

(12)

Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение

(13)

В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и G(p) или в виде формы Коши (10).

Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.

|x|=c