Курсовая работа: Градиентный метод первого порядка
По условию дано:
, T =
20, U(t) = 15 – 0.1t, 
.Уравнение выхода системы:
, 
, 
.
Значение параметров системы:
, 
.
Характер помехи и ее статистические параметры:
.
Здесь
-
вектор состояния системы; 
- вектор наблюдения; 
-
вектор помехи; А, В, С – матрицы коэффициентов (параметров) системы; [0, T] – интервал определения системы.
Необходимо
- составить в соответствии с математическим ожиданием системы ее имитационную модель для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения;
- составить алгоритм и программу решения задачи построения динамической модели в соответствии с заданным типом модели методом идентификации и точностью решения задачи;
- отладить программу;
- провести расчеты и анализ полученных результатов.
Построение математической модели
Учитывая характер помехи можно составить следующую имитационную модель системы для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения:
,
, 
; 
.
Здесь
-
вектор состояния системы; 
- вектор состояния модели; 
-
матрицы коэффициентов модели.
, T =
20, U(t) = 15 – 0.1t, 
.
Здесь [0, T] – интервал определения системы.
Уравнение выхода системы:
, 
, 
.
Здесь
-
вектор наблюдения; 
- вектор помехи; С – матрица
коэффициентов (параметров) системы.
Значение параметров системы:
, 
.
Здесь А, В – матрицы коэффициентов (параметров) системы.
Характер помехи и ее статистические параметры:
Помеха
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 
.
Алгоритм реализации решения задачи построения динамической модели
Идея построения требуемой динамической системы состоит в следующем: для заданного значения параметра t с его интервала определения градиентным методом первого порядка находим соответствующее значение параметра x, который изменяется динамически. Поэтому необходимо в каждый момент ti найти оптимальное соответствующее значение фактора х и функции отклика у, которые наиболее близко описывали бы исходную систему. Помеха имеет нормальное распределение, поэтому включаем ее в функцию отклика таким образом, как показано в выше предложенных формулах.
Для
поиска решения необходимо рассчитать оптимальный шаг 
.
Это делается по выше указанной формуле ( 6 ) – поиск шага варьирования. Именно так и реализуем в программном решении данной задачи.
Для
поиска оптимального решения используем матрицы коэффициентов модели 
, с
помощью которых определяем соответствующее значение функции отклика. Все выше
сказанное реализовано в предлагаемой программе, в которой реализовано решение
задачи построения динамической модели в соответствии с заданным типом модели
методом идентификации и точностью решения задачи. Программа отлажена на
упрощенных тестовых примерах с использованием информации, полученной от
имитационной тестовой модели.
Проведен анализ полученных результатов, что также отражено в предложенной программе.
Апробирование машинной программы
Как было отмечено ранее, в данной программе кроме ручного ввода исходных значений факторов Х (т. е. задание так называемой «нулевой точки») существует задание количества факторов и количества опытов, как по умолчанию, так и непосредственно пользователем.
Программа исследований программного эксперимента:
Решает задачу оптимизации поверхности отклика. В начале работы требуется задать значения функции отклика Y, для которых и будет найдены соответствующие значения факторов X, при которых функция отклика принимает максимальное значение.
1.Задаем количество факторов и экспериментов
Получаем значения факторов в натуральном масштабе, заполняем матрицу планирования.
2.Производим кодирование в безразмерной системе координат, для каждого фактора определяются нулевые уровни и интервалы варьирования. Они будут использованы для определения градиента в данной точке.
3.Получаем значения коэффициентов регрессии.
4.Считаем выборочные дисперсии, и если они однородны, выводим значение дисперсии воспроизводимости
5.Проверяем на значимость коэффициенты регрессии.
В данном случае все коэффициенты значимы.
6. Получаем информацию о том, описывает ли уравнение эксперимент адекватно.
7. Делаем шаг в сторону, противоположную градиенту и находим новую точку (набор факторов).
8. Для нового набора переходим к шагу 2. Выполняем указанные действия до тех пор, пока не приблизимся к точке экстремума, на что указывает убыль последующих значений функции отклика.
Результаты работы программы
Матрица значений функции отклика системы:
.
Матрица помех:
.
Найденные значения факторов, про которых функция отклика принимает максимальное значение:
Вывод
В данном курсовом проекте рассматривался градиентный метод первого порядка, в качестве ядра которого использовался полный факторный эксперимент первого порядка, что предполагает такое проведение исследований, которое позволяет некоторым оптимальным образом получить информацию об объекте, оформить её в виде полиномиальной линейной модели и провести её статистический анализ. Так же в работе был составлен алгоритм моделирования , на основе которого была написана программа для проведения исследований градиентным методом.
Список литературы
1. Ю.П. Зайченко. Исследование операций. “Вища школа”. Киев 1988.
2. А.Г. Бондарь, Г.А. Статюха, Т. В. Землянкин , И.А. Потяженко. Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической технологии. “Вища школа”. Киев 1980.
3. В.В. Кафаров. Методы кибернетики в химии и химической технологии. Москва. «Химия». 1985.
4. А.В. Бондаренко, Г.А. Статюха. Планирование эксперимента в химической технологии. “Вища школа”. Киев 1976.
5. А. Кофман, Р. Крюон “Массовое обслуживание. Теория и приложения”.
6. Е.С. Венцель “Исследование операций”.
Листинг программы
unit MainUnit;
interface
uses Windows,Classes,Graphics,SysUtils,StdCtrls,Math,Grids, ListControl,
Forms;
type
SelType = (stNONE,stPOINT,stCON); // Тип текущего элемента
PPoint = ^TPoint;
TPoint = record
UIN : integer;
Value : integer;
X,Y : integer;
end;
PConnection = ^TConnection;
TConnection = record
toPoint : PPoint;
fromPoint : PPoint;
Value : integer;
end;
CurElement = record
ceType : SelType;
element : pointer;
end;
TGraph = class
private
WasChanged : boolean;
ChangedAfter : boolean;
PointRadius : integer;
MaxUIN : integer;
Points : TList;
Connections : TList;
Selected,Current : CurElement;
function CheckCicle(FP,TP:PPoint):boolean;
function MouseOverPoint(X,Y:integer):PPoint;
function MouseOverConnection(X,Y:integer):PConnection;
procedure
DrawConnections(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);
procedure DrawPoints(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);
procedure Clear;
public
constructor Create;
destructor Destroy;override;
function MouseOver(X,Y:integer):CurElement;
function DeleteSelected:boolean;
procedure DrawGraph(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);
procedure AddPoint(X,Y:integer;Value:integer);
function AddConnection(fromPoint,toPoint:PPoint;Value:integer):boolean;
procedure ChangeCur(dX,dY:integer);
procedure
ChangeCurAndDrawContur(X,Y,GridDelta:integer;C:TCanvas;DrawFirst,D
rawSecond:boolean);
procedure GetDeltaOfCurrent(X,Y:integer;var dX,dY:integer);
procedure SaveToFile(filename:string);
procedure OpenFromFile(filename:string);
procedure SelectCurrent;
procedure DeselectCurrent;
procedure MoveOnTop;
function IsChanged:boolean;
function WasChangedAfter:boolean;
function GetPoints:TList;
function GetConnections:TList;
function GetPointByID(ID:integer):PPoint;
procedure ZoomOn(coef:extended);
procedure ZoomOff(coef:extended);
procedure ChangeValue(Elem:CurElement;Value:integer);
function GetConsCount:integer;
function GetPointsCount:integer;
end;
PProcCon = ^TProcCon;
PProcPoint = ^TProcPoint;
TProcCon = record
Value : integer;
toPoint : PProcPoint;
Next : PProcCon;
end;
TProcPoint = record
UIN : integer;
Value : integer;
Merged : boolean;
UBorder,DBorder : integer;
UCon,DCon : integer;
UFixed,DFixed : boolean;
Prev,Next : PProcCon;
end;
PWay = ^TWay;
TWay = record
Numbers : string;
Length : integer;
Weight : integer;
Current : PProcPoint;
end;
PLinkTask = ^TLinkTask;
PProcTask = ^TProcTask;
PHolder = ^THolder;
THolder = record
Task : PProcTask;
Link : PLinkTask;
Next : PHolder;
end;
TProcTask = record
UIN : integer;
ProcNum : integer;
StartTime : integer;
Length : integer;
Prev : PHolder;
MayBeBefore : boolean;
MayBeAfter : boolean;
Ready : integer;
end;
TLinkTask = record
fromUIN : integer;
toUIN : integer;
fromProc : integer;
toProc : integer;
fromTask : PProcTask;
toTask : PProcTask;
StartTime : integer;
Length : integer;
PrevLink : PLinkTask;
PrevTask : PProcTask;
end;
PPossibleMove = ^TPossibleMove;
TPossibleMove = record
UIN : integer;
processor : integer;
afterUIN : integer;
ProcCount,Time:integer;
CurrentState : boolean;
end;
TSubMerger = class
private
Selected : PProcTask;
MinProcNum:integer;
MaxProcNum:integer;
Points : TList;
Procs : TList;
Links : TList;
AllProcTasks : Tlist;
function GetProcPointByUIN(UIN:integer):PProcPoint;
function GetProcTaskByUIN(UIN:integer):PProcTask;
procedure Clear;
procedure ClearProcs(FreeElements:boolean);
procedure ClearLinks(FreeElements:boolean);
procedure FormLinkTasksAndSetTimes(NumOfProcs:integer);
// -- Optimization -- //
procedure ClearPossibleMoves(var List:TList);
function GetPossibleMoves(UIN:integer):TList;
function GetTime:integer;
function GetProcCount:integer;
procedure SaveBackUp(var List:Tlist);
procedure RestoreBackUp(var
List:Tlist;NOP:integer;ClearCurrent:boolean);
public
constructor Create;
procedure Init(GPoints,GConnections:TList);
procedure DoBazovoe;
procedure SelectTask(UIN:integer);
procedure DeselectTask;
procedure MoveSelectedAfter(ProcNum,UIN:integer);
procedure ShowSubMerging(SG:TStringGrid);
function IncNumOfProc:boolean;
function DecNumOfProc:boolean;
function OptimizeOneStep(L1,L2:TLabel):boolean;
procedure OptimizeAuto(Form:TForm;L1,L2:TLabel);
end;
// --- --- --- //
function MinInt(I1,I2:integer):integer;
function MaxInt(I1,I2:integer):integer;
procedure MinMaxInt(I1,I2:integer;Var Min,Max:integer);
implementation
// -- Native functions -- //
function MinInt(I1,I2:integer):integer;
begin
if I1<I2 then Result:=I1 else Result:=I2
end;
function MaxInt(I1,I2:integer):integer;
begin
if I1>I2 then Result:=I1 else Result:=I2
end;
procedure MinMaxInt(I1,I2:integer;Var Min,Max:integer);
begin
if I1<I2 then
begin
Min:=I1;
Max:=I2
end
else
begin
Min:=I2;
Max:=I1
end
end;
// -- Objects -- //
function TGraph.GetConsCount:integer;
begin
Result:=Connections.Count
end;
function TGraph.GetPointsCount:integer;
begin
Result:=Points.Count
end;
procedure TGraph.ZoomOn(coef:extended);
var PP:PPoint;
i:integer;
begin
for i:=0 to Points.Count-1 do
begin
PP:=Points[i];
PP.X:=round(PP.X*coef);
PP.Y:=round(PP.Y*coef);
end;
end;
procedure TGraph.ZoomOff(coef:extended);
var PP:PPoint;
i:integer;
begin
for i:=0 to Points.Count-1 do
begin
PP:=Points[i];
PP.X:=round(PP.X/coef);
PP.Y:=round(PP.Y/coef);
end;
end;
constructor TGraph.Create;
begin
inherited Create;
MaxUIN:=0;
Points:=TList.Create;
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
