Быстрый поиск

Контрольная работа: Программная реализация симплекс-метода

Содержание

Введение

1. Описание задачи

2. Описание метода решения

3. Проектирование интерфейса

4. Структура программного модуля

5. Тестирование

Заключение

Список использованной литературы и программных средств

Приложение 1. Интерфейс приложения

Приложение 2. Листинг класса SimplexSolve

Введение

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Работа посвящена наиболее распространенному методу решения задачи линейного программирования – симплекс-методу. Симплекс-метод является классическим и наиболее проработанным методом в линейном программировании.

1. Описание задачи

Задача линейного программирования (ЛП) возникает из необходимости оптимально использовать имеющиеся ресурсы. Это задачи, связанные с целеобразованием и анализом целей и функций; задачи разработки или совершенствования структур (производственных структур предприятий, организованных структур объединений); задачи проектирования (проектирование сложных робототехнических комплексов, гибких производственных систем).

В качестве конкретных примеров задач, которые относятся к области линейного программирования, можно назвать задачу об использовании сырья, задачу об использовании мощностей, задачу на составление оптимальной производственной программы.

Задача ЛП заключается в отыскании вектора , максимизирующего/минимизирующего линейную целевую функцию

(1)

при следующих линейных ограничениях

(2)

(3)

Запись задачи ЛП в виде (1)-(3) называется нормальной формой задачи.

Эту же задачу ЛП можно представить в векторно-матричной записи:

(4)

где - вектор коэффициентов целевой функции,

- вектор решения,

- вектор свободных членов,

- матрица коэффициентов.

Область называется областью допустимых значений (ОДЗ) задач линейного программирования. Соотношения (2), (3) называются системами ограничений задачи ЛП. Так как , то можно ограничиться изучением задачи одного типа.

Решением задачи ЛП, или оптимальным планом, называется вектор, удовлетворяющий системе ограничений задачи и оптимизирующий целевую функцию.

Другая форма представления задачи ЛП – каноническая. Она имеет вид:

В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть неотрицательными, а все ограничения должны быть представлены равенствами. Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности.

2. Описание метода решения

Симплекс-метод является наиболее распространенным вычислительным методом, который может быть применен для решения любых задач ЛП как вручную, так и с помощью ЭВМ.

Этот метод позволяет переходить от одного допустимого решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают. В результате оптимальное решение находят за конечное число шагов. Алгоритм симплекс-метода позволяет также установить является ли задача ЛП разрешимой.

Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме. Будем искать решение задачи (6), (7), (8).

(6)

(7)

(8)

0. Положим k = 1. Взяв переменные за свободные и положив их равными нулю, а , переобозначив в , - за базисные, находим первую крайнюю точку:

1. Заполним начальную допустимую симплекс-таблицу

		…			…
		…		0	…	0	0
		…		1	…	0
…	…	…	…	…	…	…	…
		…		0	…	1

где - вектор коэффициентов целевой функции,

- вектор свободных членов,

- матрица коэффициентов.

2. Если для k-той крайней точки все , то эта точка оптимальная, переход на пункт 7.

В остальных случаях переход к пункту 3.

3. Находим ведущий столбец . Правило выбора: выбираем столбец, в котором самый минимальный коэффициент среди отрицательных:

4. Находим ведущую строку по правилу:

Если все элементы ведущего столбца , то задача ЛП не является разрешимой, т.к. целевая функция не ограничена на множестве допустимых значений, переход на пункт 7.

Таким образом, ведущий элемент .

5. Выполняем один шаг метода Гаусса: выводим переменную с индексом из числа базисных, а переменную с индексом вводим в базис. Новые элементы ведущей строки находятся по формуле: