Дипломная работа: Моделирование сети кластеризации данных в MATLAB NEURAL NETWORK TOOL

pos = hextop(2,3)

pos =

0 1.0000 0.5000 1.5000 0 1.0000

0 0 0.8660 0.8660 1.7321 1.7321.

plotsom (pos) % (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 – Гексагональная сетка

Заметим, что М-функция hextop используется по умолчанию при создании карт Кохонена при применении функции newsom.

Сетка со случайным расположением узлов может быть создана с помощью функции randtop:

pos = randtop(2,3)

pos =

0.061787 0.64701 0.40855 0.94383 0 0.65113

0 0.12233 0.90438 0.54745 1.4015 1.5682

plotsom(pos) % (рисунок 3.8).

Рисунок 3.8 – Сетка со случайным расположением узлов

3.2.2 Функции для расчета расстояний

В ППП NNT используется 4 функции для расчета расстояний между узлами сетки.

Функция dist вычисляет евклидово расстояние между нейронами, размещенными в узлах сетки, в соответствии с формулой:

, (3.9)

где ,  - векторы положения нейронов с номерами i и j.

Обратимся к прямоугольной сетке из шести нейронов (рисунок 3.6) и вычислим соответствующий массив расстояний:

pos = gridtop(2,3)

d = disе(pos)

d =

0 1 1  1.4142 2  2.2361

1 0  1.4142 1  2.2361 2

1  1.4142 0 1 1  1.4142

1.4142 1 1 0  1.4142 1

2  2.2361 1  1.4142 0 1

2.2361 2  1.4142 1 1 0.

Этот массив размера 6х6 описывает расстояния между нейронами и содержит на диагонали нули, поскольку они определяют расстояние нейрона до самого себя, а затем, двигаясь вдоль строки, до второго, третьего и т. д.

На рисунке 3.9 показано расположение нейронов в узлах прямоугольной сетки. Введем понятие окрестности для прямоугольной сетки. В этом случае окрестность размера 1, или просто окрестность 1, включает базовый нейрон и его непосредственных соседей; окрестность 2 включает нейроны из окрестности 1 и их соседей.

Рисунок 3.9 – Расположение нейронов в узлах прямоугольной сетки

Размер, а соответственно и номер окрестности, определяется максимальным значением координаты смещения нейрона от базового. Вводимое таким способом расстояние между нейронами называется расстоянием максимального координатного смещения и может быть вычислено по формуле:

, (3.10)

где ,  - векторы положения нейронов с номерами i и j.

Для вычисления этого расстояния в ППП NNT предназначена М-функция boxdist. Для конфигурации нейронов, показанной на рисунке 3.6, эти расстояния равны:

роs = gridtop(2,3)

d = boxdist(pos)

d=

0 1 1 1 2 2

1 0 1 1 2 2

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1

2 2 1 1 0 1

2 2 1 1 1 0.

Расстояние максимального координатного смещения между базовым нейроном 1 и нейронами 2, 3 и 4 равно 1, поскольку они находятся в окрестности 1, а расстояние между базовым нейроном и нейронами 5 и 6 равно 2, и они находятся в окрестности 2. Расстояние максимального координатного смещения от нейронов 3 и 4 до всех других нейронов равно 1.

Определим другое расстояние между нейронами, которое учитывает то количество связей, которое необходимо установить, чтобы задать путь движения от базового нейрона. Если задано  нейронов, положение которых определяется векторами , i = 1,..., S, то расстояние связи между ними определяется соотношением:

 (3.11)

Если евклидово расстояние между нейронами меньше или равно 1, то расстояние связи принимается равным 1; если между нейронами с номерами i и j имеется единственный промежуточный нейрон с номером , то расстояние связи равно 2, и т. д.

Для вычисления расстояния связи в ППП NNT предназначена функции linkdist. Для конфигурации нейронов, доказанной на рисунке 3.6, эти расстояния равны:

pos = gridtop{2,3)

d = linkdist(pos)

d =

0 1 1 2 2 3

1 0 2 1 3 2

1 2 0 1 1 2

2 1 1 0 2 1

2 3 1 2 0 1

3 2 2 1 1 0.

Расстояние связи между базовым нейроном 1 и нейронами 2, 3 равно 1, между базовым нейроном и нейронами 4 и 5 равно 2, между базовым нейроном и нейроном 6 равно 3. Наконец, определим расстояние максимального координатного смещении по формуле:

, (3.12)

где , - векторы расположения нейронов с номерами i и j.

Для вычисления расстояния максимального координатного смещения в ППП NNT предназначена функции mandist.

Вновь обратимся к конфигурации нейронов на рисунке 3.6:

pos = gridtop(2,3)

d = mandist(pos)

d =

0 1 1 2 2 3

1 0 2 1 3 2

1 2 0 1 1 2

2 1 1 0 2 1

2 3 1 2 0 1

3 2 2 1 1 0.

В случае прямоугольной сетки оно совпадает с расстоянием связи.

3.2.3 Архитектура сети

Промоделированная архитектура самоорганизующейся карты Кохонена в MATLAB NNT показана на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 – Архитектура самоорганизующейся карты Кохонена

Эта архитектура аналогична структуре слоя Кохонена за исключением того, что здесь не используются смещения. Конкурирующая функция активации возвращает 1 для элемента выхода , соответствующего победившему нейрону; все другие элементы вектора  равны 0.

Однако в сети Кохонена выполняется перераспределение нейронов, соседствующих с победившим нейроном. При этом можно выбирать различные топологии размещения нейронов и различные меры для вычисления расстояний между нейронами.

3.2.4 Создание сети

Для создания самоорганизующейся карты Кохонена в составе ППП MATLAB NNT предусмотрена М-функция newsom. Допустим, что требуется создать сеть для обработки двухэлементных векторов входа с диапазоном изменения элементов от 0 до 2 и от 0 до 1 соответственно. Предполагается использовать гексагональную сетку размера 2x3. Тогда для формирования такой нейронной сети достаточно воспользоваться оператором:

net = newsom([0 2; 0 1], [2 3])

net.layers{l}

ans =

dimensions:[2 3]

distanceFcn:'linkdist'

distances:[6x6 double]

initFcn:'initwb'

netInputFcn:'netsum'

positions:[2x6 double]

size:6

topologyFcn:'hextop'

transferFcn:'compet'

userdata:[1x1 struct].

Из анализа характеристик этой сети следует, что она использует по умолчанию гексагональную топологию hextop и функцию расстояния linkdist.

Для обучения сети зададим следующие 12 двухэлементных векторов входа:

Р = [0.1 0.3 1.2 1.1 1.8 1.7 0.1 0.3 1.2 1.1 1.8 1.7; ...

0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 0.2 1.8 1.8 1.9 1.9 1.7 1.8].

Построим на топографической карте начальное расположение нейронов карты Кохонена и вершины векторов входа (рисунок 3.11):

plotsom(net.iw{1,1}, net.layers{1}.distances)

hold on

plot(P(1,;),P(2,:), '*к','markersize',10)

Рисунок 3.11 – Начальное расположение нейронов

Векторы входа помечены символом * и расположены по периметру рисунка, а начальное расположение нейронов соответствует точке с координатами (1, 0.5).

3.2.5 Обучение сети

Обучение самоорганизующейся карты Кохонена реализуется повекторно независимо от того, выполняется обучение сети с помощью функции trainwbl или адаптация с помощью функции adaptwb. В любом случае функция learnsom выполняет настройку элементов весовых векторов нейронов.

Прежде всего определяется нейрон-победитель и корректируются его вектор весов и векторы весов соседних нейронов согласно соотношению:

, (3.13)

где - параметр скорости обучения; - массив параметров соседства для нейронов, расположенных в окрестности нейрона-победителя i, который вычисляется по соотношению:

 (3.14)

где  - элемент выхода нейронной сети;  - расстояние между нейронами i и j; - размер окрестности нейрона-победителя.

Весовые векторы нейрона-победителя и соседних нейронов изменяются в зависимости от значения параметра соседства. Веса нейрона-победителя изменяются пропорционально параметру скорости обучения, а веса соседних нейронов - пропорционально половинному значению этого параметра.

Процесс обучения карты Кохонена включает 2 этапа: этап упорядочения векторов весовых коэффициентов в пространстве признаков и этап подстройки. При этом используются следующие параметры обучения сети (таблица 2.1):

Таблица 2.1

Параметры обучения сети

Параметры обучения и настройки карты Кохонена			Значение по умолчанию
Количество циклов обучения	neе.trainParamepochs	N	>1000
Количество циклов на этапе упорядочения	netinputWeights{1,1}.learnParam.order_steps	S	1000
Параметр скорости обучения на этапе упорядочения	net.inputWeights{1,1}.leamParam.order_lr	order_lr	0.9
Параметр скорости обучения на этапе подстройки	net.inputWeights{1,1}.learnParam.tune_lr	tune	0.02
Размер окрестности на этапе подстройки	net.inputWeights(1,1).learnParam.tune_nd	tune_nd	1

В процессе построения карты Кохонена изменяются 2 параметра: размер окрестности и параметр скорости обучения.

Этап упорядочения. На этом этапе используется фиксированное количество шагов. Начальный размер окрестности назначается равным максимальному расстоянию между нейронами для выбранной топологии и затем уменьшается до величины, используемой на этапе подстройки в соответствии со следующим правилом:

, (3.15)

где  - максимальное расстояние между нейронами;  - номер текущего шага.

Параметр скорости обучения изменяется по правилу:

. (3.16)

Таким образом, он уменьшается от значения order_lr до значения tune_lr.

Этап подстройки. Этот этап продолжается в течение оставшейся части процедуры обучения. Размер окрестности на этом этапе остается постоянным и равным:

. (3.17)

Параметр скорости обучения изменяется по следующему правилу:

. (3.18)

Параметр скорости обучения продолжает уменьшаться, но очень медленно, и именно поэтому этот этап именуется подстройкой. Малое значение окрестности и медленное уменьшение параметра скорости обучения хорошо настраивают сеть при сохранении размещения, найденного на предыдущем этапе. Число шагов на этапе подстройки должно значительно превышать число шагов на этапе размещения. На этом этапе происходит тонкая настройка весов нейронов по отношению к набору векторов входа.

Как и в случае слоя Кохонена, нейроны карты Кохонена будут упорядочиваться так, чтобы при равномерной плотности векторов входа нейроны карты Кохонена также были распределены равномерно. Если векторы входа распределены неравномерно, то и нейроны на карте Кохонена будут иметь тенденцию распределяться в соответствии с плотностью размещения векторов входа.

Таким образом, при обучении карты Кохонена решается не только задача кластеризации входных векторов, но и выполняется частичная классификация.

Выполним обучение карты Кохонена размера 2x3 с гексагональной сеткой и с мерой, определяемой расстоянием связи:

net = newsom([0 2; 0 1], [2 3]).

Для обучения сети зададим 12 двухэлементных векторов входа

Р = [0.1 0.3 1.2 1.1 1.8 1.7 0.1 0.3 1.2 1.1 1.8 1.7; ...

0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 0,2 1,8 1.8 1.9 1.9 1.7 1.8].

Зададим количество циклов обучения равным 2000:

net.trainParam.epochs = 2000

net.trainParam.show = 100

net = train (net, P)

plot(p(l,:),P(2,:), '*', 'markersize',10)

hold on

plotsom(net.iw{1*1},net.layers{l).distances).

Результат обучения представлен на рисунке 3.12.

Рисунок 3.12 – Карты Кохонена с гексагональной сеткой

Положение нейронов и их нумерация определяются массивом весовых векторов, который для данного примера имеет вид:

net.IW{l}

ans =

1.2163 0.20902

0.73242 0.46577

1.0645 0.99103

0.4551 1.3893

1.5359 1.8079

1.0888 1.8433.

Если промоделировать карту Кохонена на массиве обучающих векторов входа, то будет получен следующий выход сети:

а = sim(net,P)

а =

(2,1)1

(2,2)1

(1,3) 1

(1,4) 1

(1,5) 1

(1,6) 1

(4,7) 1

(4,8) 1

(6,9) 1(6.10) 1

(5.11) 1

(5.12) 1.

Это означает, что векторы входов 1 и 2 отнесены к кластеру с номером 2, векторы 3-6 - к кластеру 1, векторы 7-8 - к кластеру 4, векторы 9-10 - к кластеру 6, а векторы 11-12 - к кластеру 5. Номер кластера на рисунке соответствует номеру соответствующего нейрона на карте Кохонена.

Если сформировать произвольный вектор входа, то карта Кохонена должна указать его принадлежность к тому или иному кластеру:

а = sim(net,[1.5; 1])

а = (3,1) 1.

В данном случае представленный вектор входа отнесен к кластеру с номером 3. Обратите внимание, что векторов такого сорта в обучающей последовательности не было. Рассмотрим еще 2 модели одномерной и двумерной карт Кохонена.

3.2.6 Моделирование одномерной карты Кохонена

Рассмотрим 100 двухэлементных входных векторов единичной длины, распределенных равномерно в пределах от 0 до 90°:

angles = 0:0.5*pi/99:0.5*pi

Р = [sin(angles);cos(angles)]

plot(P(1,1:10:end), P(2,l:10:end), 'b')

hold on.

График входных векторов приведен на рисунке 3.13, а, и на нем символом * отмечено положение каждого 10-го вектора.

Рисунок 3.13 – График входных векторов

Сформируем самоорганизующуюся карту Кохонена в виде одномерного слоя из 10 нейронов и выполним обучение в течение 2000 циклов:

net = newsom( [0 1;0 1], [10])

net.trainParam.epochs = 2000; net.trainParam.show = 100

[net, tr] = train(net,P)

plotsom (net .IW{1,1}, net.layers{1}.distances) % (рисунок 3.13 ,a)

figure ( 2) a = sim(net,P); bar(sum(a1)) % (рисунок 3.13,б).

Весовые коэффициенты нейронов, определяющих центры кластеров, отмечены на рисунке 3.13, а цифрами. На рисунке 3.13, б показано распределение обучающих векторов по кластерам. Как и ожидалось, они распределены практически равномерно с разбросом от 8 до 12 векторов в кластере.

Таким образом, сеть подготовлена к кластеризации входных векторов. Определим, к какому кластеру будет отнесен вектор [1; 0]:

а = sim(net,[1;0])

а = (10,1)1.

Как и следовало ожидать, он отнесен к кластеру с номером 10.

3.2.7 Моделирование двумерной карты Кохонена

Этот пример демонстрирует обучение двумерной карты Кохонена. Сначала создадим обучающий набор случайных двумерных векторов, элементы которых распределены по равномерному закону в интервале [-1, 1]:

P = rands(2,1000)

plot(P(l,:),Р(2, :),'+') % (рисунок 3.14).

Рисунок 3.14 – Обучающий набор случайных двумерных векторов

Для кластеризации векторов входа создадим самоорганизующуюся карту Кохонена размера 5x6 с 30 нейронами, размещенными на гексагональной сетке:

net = newsom([-1 1; -1 1],[5,6])

net.trainParam.epochs = 1000

net.trainParam.show = 100

net = train(net,P); plotsom(net.IW{1,1},net.layers{l}.distances).

Результирующая карта после этапа размещения показана на рисунке 3.15, а. Продолжим обучение и зафиксируем карту после 1000 шагов этапа подстройки (рисунок 3.15, б), а затем после 4000 шагов (рисунок 3.15, в). Нетрудно убедиться, что нейроны карты весьма равномерно покрывают область векторов входа.

Рисунок 3.15 – Результирующая карта после этапа размещения

Определим принадлежность нового вектора к одному из кластеров карты Кохонена и построим соответствующую вершину вектора на рисунке 3.15, в:

а = sim(net,[0.5;0.3])

а = (19.1) 1

hold on, plot(0.5,0.3,'*k') %(риcунок 3.15, в).

Нетрудно убедиться, что вектор отнесен к 19-му кластеру.

Промоделируем обученную карту Кохонена, используя массив векторов входа:

а = sim(net,P)

bar(sum(a')) % (рисунок 3.16).

Из анализа рисунка 3.16 следует, что количество векторов входной последовательности отнесенных к определенному кластеру, колеблется от 13 до 50.

Рисунок 3.16 – Промоделированная карта Кохонена

Таким образом, в процессе обучения двумерная самоорганизующаяся карта Кохонена выполнила кластеризацию массива векторов входа. Следует отметить, что на этапе размещения было выполнено лишь 20% от общего числа шагов обучения, т, е. 80% общего времени обучения связано с тонкой подстройкой весовых векторов. Фактически на этом этапе выполняется в определенной степени классификация входных векторов.

Слой нейронов карты Кохонена можно представлять, в виде гибкой сетки, которая натянута на пространство входных векторов. В процессе обучения карты, в отличие от обучения слоя Кохонена, участвуют соседи нейрона-победителя, и, таким образом, топологическая карта выглядит более упорядоченной, чем области кластеризации слоя Кохонена.

ВЫВОДЫ

Современный мир переполнен различными данными и информацией - прогнозами погод, процентами продаж, финансовыми показателями и массой других. Часто возникают задачи анализа данных, которые с трудом можно представить в математической числовой форме. Например, когда нужно извлечь данные, принципы отбора которых заданы неопределенно: выделить надежных партнеров, определить перспективный товар, проверить кредитоспособность клиентов или надежность банков и т.п. И для того, чтобы получить максимально точные результаты решения этих задач необходимо использовать различные методы анализа данных.

Одним из ведущих методов анализа данных является кластеризация. Задачей кластеризации является разбиения совокупности объектов на однородные группы (кластеры или классы), а целью - поиск существующих структур. Решается данная задача при помощи различных методов, выбор метода должен базироваться на исследовании исходного набора данных. Сложностью кластеризации является необходимость ее экспертной оценки.

На данный момент существует большое количество методов кластеризации. Так, например, наиболее очевидным является применение методов математической статистики. Но тут возникает проблема с количеством данных, ибо статистические методы хорошо работают при большом объеме априорных данных, а у нас может быть ограниченное их количество. Поэтому статистические методы не могут гарантировать успешный результат, что делает их малоэффективными в решении многих практических задач.

Другим путем решения этой задачи может быть применение нейронных сетей, что является наиболее перспективным подходом. Можно выделить ряд преимуществ использования нейронных сетей:

· возможно построение удовлетворительной модели на нейронных сетях даже в условиях неполноты данных;

· искусственные нейронные сети легко работают в распределенных системах с большой параллелизацией в силу своей природы;

· поскольку искусственные нейронные сети подстраивают свои весовые коэффициенты, основываясь на исходных данных, это помогает сделать выбор значимых характеристик менее субъективным.

Кластеризация является задачей, относящейся к стратегии "обучение без учителя", т.е. не требует наличия значения целевых переменных в обучающей выборке. Для нейросетевой кластеризации данных могут использоваться различные модели сетей, но наиболее эффективным является использование сетей Кохонена или самоорганизующихся карт.

В данной магистерской работе подробно на примерах рассмотрена такая парадигма нейронных сетей как карты Кохонена. Основное отличие этих сетей от других моделей состоит в наглядности и удобстве использования. Эти сети позволяют упростить многомерную структуру, их можно считать одним из методов проецирования многомерного пространства в пространство с более низкой размерностью. Интенсивность цвета в определенной точке карты определяется данными, которые туда попали: ячейки с минимальными значениями изображаются темно-синим цветом, ячейки с максимальными значениями - красным.

Другое принципиальное отличие карт Кохонена от других моделей нейронных сетей - иной подход к обучению, а именно - неуправляемое или неконтролируемое обучение. Этот тип обучения позволяет данным обучающей выборки содержать значения только входных переменных. Сеть Кохонена учится понимать саму структуру данных и решает задачу кластеризации.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Руденко О.Г., Бодянский Е.В. Искусственные нейронные сети – Харьков, 2005. – 407с.

2. Котов А., Красильников Н. Кластеризация данных

3. Jain A.K., Murty M.N., Flynn P.J. Data Clustering: A Review "(http://www/csee/umbc/edu/nicolas/clustering/p264-jain.pdf)

4. Kogan J., Nicholas C., Teboulle M. Clustering Large and High Dimensional Data (http://www/csee/umbc/edu/nicolas/clustering/tutorial.pdf)

5. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6 – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. – 496с.

6. Круглов В. В., Борисов В. В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика – М.: Горячая линия - Телеком, 2001. – 382с.

7. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей – «Вильямс», 2001. –288с.