Реферат: Оптимизационные модели межотраслевого баланса
(17)
Из этих условий находятся границы допустимых изменений каждой компоненты вектора b и области допустимых изменений одновременно нескольких компонент вектора b. Сохранение базиса оптимального плана является также условием неизменности оптимальных оценок.
Включение в оптимальный план дополнительных производственных способов.
Как уже отмечалось, типичным свойством оптимального плана модели является использование (п1 + т1 – 1) производственных способов. Может оказаться, что большая часть имеющихся производственных способов (из общего числа N > n1 + т1 – 1) не будет использоваться и преобладающая часть продукции будет производиться небольшим числом способов. Такая ситуация является нежелательной с точки зрения маневренности, надежности, адаптивности плана. В связи с этим интересно изучить, к каким последствиям приводит включение в оптимальный план дополнительных способов.
Эффективность производственных способов ψ измеряется оценками производственных способов:
. (18)
Для способов, вошедших в оптимальный план, Δψ = 0. Для способов, не вошедших в оптимальный план, Δψ ≤ 0 (а в случае единственности оптимального плана Δψ строго отрицательны). Оценки Δψ показывают, насколько уменьшится значение целевой функции при включении в оптимальный план ранее не входившего в него способа с единичной интенсивностью. Если же интенсивность вводимого способа равна xψ, то значение целевой функции уменьшится на Δψxψ.
Рассмотрим, как повлияет включение дополнительных способов (вектора Х2) на интенсивности применения оптимальных (базисных) способов (вектор X1. Добавив к вектору b1 произведение – A12 Х2, получим на основе (11)
,
откуда
(19)
Заметим также, что формула изменения максимального числа комплектов конечной продукции при включении вектора Х2 имеет вид:
(20)
Формулы (19) и (20) справедливы при сохранении базиса оптимального плана, т. е. при условиях
С помощью оценок способов (18) можно изучать целесообразность включения в условия народнохозяйственной задачи новых способов. Новый способ φ будет эффективным (т. е. может войти в оптимальный план), если Δφ ≥ 0. Это условие может быть использовано для проектирования новых эффективных производственных способов.
Рассмотренные направления и методы анализа оптимального плана являются универсальными для всех линейных оптимизационных моделей. Однако в более частных моделях экономико-математический анализ может выявлять и специфические свойства оптимальных решений.
§2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Общая линейная оптимизационная модель построена на основе матрицы таких производственных способов, что каждый из них может выпускать несколько видов продукции, каждый вид продукции может выпускаться несколькими способами.
Далее мы рассмотрим более частные оптимизационные модели, сохраняющие некоторые специфические допущения модели межотраслевого баланса: сначала – модели, в которых каждый способ выпускает только один продукт и каждый продукт выпускается только одним способом, а затем – модели, в которых сохраняется только первое из указанных допущений. Такая последовательность анализа моделей выбрана для того, чтобы «перекинуть мост» между моделями межотраслевого баланса и оптимизационными моделями народного хозяйства и проследить изменение свойств решений (сбалансированных и оптимальных) при изменении предпосылок модели и включении в нее новых условий.
Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделей
Оптимизационные модели по сравнению с балансовыми представляют собой более совершенный тип моделей социалистической экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых, балансовые модели могут интерпретироваться и исследоваться как частный случай оптимизационных моделей.
Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на языке оптимизационных задач. Рассмотрим систему уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции совместно с ограничением по трудовым ресурсам производственной сферы:
(21)
Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y0 = () и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов производства X = (xj). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:
(22)
Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается получение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что реальным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x*), при которых .
Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции :
(23)
Оптимальный план X* задачи (22) характеризуется следующими свойствами:
· он единственный;
· если Y0 > 0 (или Y0 ≥ 0 и А – неразложимая матрица), то Х* > 0;
· балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся;
· оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой функции tJ ≥ 0.
На рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вершиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y0 ≥ 0. При этом решение прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы уравнений и поэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продукции равны коэффициентам полных трудовых затрат.
Равенство функционалов прямой и двойственной задачи имеет место при любых положительных значениях tj и . Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.
Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей.
При анализе возможностей использования модели межотраслевого баланса в планировании отмечалось, что при краткосрочном планировании наиболее существенными ограничениями роста производства являются наличные производственные мощности.
Решение модели должно удовлетворять условиям xj ≤ Nj, где Nj – максимально возможный выход продукции j с производственных мощностей планируемого года. Так же, как и в § 1, включим в модель условия оптимизации конечной продукции (27), обозначая вектор ассортиментных коэффициентов прироста конечной продукции, а вектор заданных объемов конечной продукции Q = (qi).
В векторно-матричных обозначениях модель имеет вид:,
(24)
Решение модели существует, если значения компонент вектора Q заданы не слишком большими. Оптимальный план обращает первую группу условий строго в равенства (невыгодно производить сверхкомплектные излишки конечной продукции). Поэтому в дальнейшем анализе исходим из того, что (Е – А) X – = Q, откуда
(25)
Поскольку , то при условие Х ≥ 0 всегда выполняется. Вследствие этого задача сокращается:
Вектор представляет собой коэффициенты полных потребностей в продукции для получения одного комплекта конечной продукции; есть вектор максимально возможных объемов продукции для получения переменной части конечной продукции. Очевидно, что
(26)
Определив , находим X* = β+ (E – A)–1Q.
Таким образом, определяется «узким» местом в системе производственных мощностей. Как правило, мощность только одного вида продукции будет использована полностью. Оптимальная оценка мощности по этому виду продукции (k) равна .
Выявление дефицитной мощности служит сигналом для ее максимального расширения в планируемом году за счет концентрации строительства на пусковых объектах, дополнительных поставок оборудования, изменения специализации соответствующих предприятий и режима их работы (сменности) и т. д.
Для определения программы первоочередных мероприятий по расширению производственных мощностей целесообразно упорядочить мощности по их дефицитности.
Для каждого вида мощности рассчитаем показатель , характеризующий максимальное число комплектов конечной продукции, которое можно получить с мощности вида j при условии неограниченности других мощностей. Упорядочив ряд чисел , начиная с , получим последовательность мощностей, упорядоченную по степени их дефицитности. При новой нумерации разности покажут прирост числа комплектов конечной продукции после «расшивки» k-го «узкого» места в системе производственных мощностей.
По модели (24) можно проводить многовариантные расчеты, показывающие влияние изменения параметров аij,, Nj на объемы производства и конечной продукции. В результате таких расчетов выявляется группа устойчиво дефицитных мощностей, на расширение которых ресурсы должны направляться в первую очередь. Важным направлением развития модели является непосредственный учет в ней элементов случайности и неопределенности. Разработана и экспериментально апробирована модель, в которой производственные мощности Ni рассматриваются как случайные независимые величины.
Модели с ограничениями по общим ресурсам.
Рассмотрим модель, в которой балансы производства и распределения продукции дополняются ограничениями по общим невоспроизводимым ресурсам:
(27)
Подставляя (25) в ограничения по общим ресурсам, получаем
или
(28)
где = (s) = (E – А) –1 – вектор полных затрат ресурсов на один комплект прироста конечной продукции, – вектор ресурсов, которые могут использоваться для получения переменной части конечной продукции.
Из (28) следует:
(29)
Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна: , a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: . Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресурсов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.
Полное использование только одного вида ресурсов (или наличие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптимального решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной части конечной продукции заданы в виде ЦФП:
(30)