Быстрый поиск

Курсовая работа: Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

в связи с чем предельные вероятности принимают вид:

(8).

Выражение (7) справедливо только при < 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .

Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все т-мест в очереди тоже:

(9).

Относительная пропускная способность:

(10).

Абсолютная пропускная способность:

Средняя длина очереди. Найдем среднее число -заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R—числа заявок, находящихся в очереди:

С вероятностьюв очереди стоит одна заявка, с вероятностью— две заявки, вообще с вероятностьюв очереди стоят k-1 заявок, и т.д., откуда:

(11).

Поскольку , сумму в (11) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:

Подставляя данное выражение в (11) и используя из (8), окончательно получаем:

(12).

Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа -заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью 1 - ), откуда:

и среднее число заявок, связанных с СМО, равно:

(13).

Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т.д.

Если же k=m+1, т.е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m-заявок в очереди (вероятность этого ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

если подставить сюда выражения для вероятностей (8), получим:

(14).

Здесь использованы соотношения (11), (12) (производная геометрической прогрессии), а также из (8). Сравнивая это выражение с (12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

(15).

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим - матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100%, очевидно, , в противном же случае:

Отсюда:

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой).

Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m = 3). Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность =1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

вероятность отказа;

относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;

среднее число машин, ожидающих заправки;

среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);

среднее время ожидания машины в очереди;

среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

Иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Находим вначале приведенную интенсивность потока заявок: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.

По формулам (8):

Вероятность отказа 0,297.

Относительная пропускная способность СМО: q=1-=0,703.

Абсолютная пропускная способность СМО: A==0,703 машины в мин.

Среднее число машин в очереди находим по формуле (12):

т.е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.

Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием:

получаем среднее число машин, связанных с АЗС.

Среднее время ожидания машины в очереди по формуле (15):

Прибавляя к этой величине , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

Системы с неограниченным ожиданием. В таких системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.

Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (6) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при <1.

Может быть доказано, что <1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Если, то соотношения (8) принимают вид:

(16).

При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому q=1, .

Среднее число заявок в очереди получим из (12) при :

Среднее число заявок в системе по формуле (13) при :

Среднее время ожиданияполучим из формулы (14) при:

Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО есть:

2.2 Многоканальная СМО с ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .