Контрольная работа: Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда
2. Линейную трендовую
модель 
строим с помощью
надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия»:
Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты»):
.
Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.
Коэффициент детерминации
уравнения R2»0,941 превышает критическое значение 
для a=0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости
линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само
значение R2 показывает, что изменение спроса во
времени на 94,1 % описывается линейной моделью.
3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.
1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели
.
Получаем начальные
значения параметров модели Брауна 
и 
, которые соответствуют
моменту времени t=0
(определены с помощью функций EXCEL
«ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно.
2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):
.
3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:
.
4) Скорректируем
параметры модели для параметра сглаживания 
=0,4
по формулам:
;
,
где 
- коэффициент
дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям;
- параметр сглаживания (
=
); 
- отклонение (остаточная
компонента).
По условию 
=0,4, следовательно значение
b равно:
.
Получим:
;
,
5) По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:
.
Для t=2:
.
6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.
7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:
8) Корректировка
параметров модели для 
=0,7 и 
=0,3:
;
9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:
Таким образом, судя по
средней относительной ошибке при 
=0,4 и 
=0,7, в первом случае 
=4,1%, а во втором случае 
=5,0%. Следовательно, 
=0,4 – лучшее значение
параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.
4. Оценим адекватность линейной
модели. Рассчитанные по модели значения спроса 
,
остатки 
и их график были получены
в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД
ОСТАТКА» в прил. 4).
Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=4.
Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n=9 определяется по формуле
Так как 
, остатки признаются
случайными.
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции). Для расчета d‑статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
d‑статистика имеет значение (см. прил. 4):
;
;
Критические значения d‑статистики для a=0,05 и n=9 составляют: d1=0,82; d2=1,32. Так как выполняется условие
,
то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4):
.
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверим равенство нулю
математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно
нулю: 
(определено с помощью
встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 4). Поэтому
гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле
,
где emax; emin - наибольший и наименьший остатки соответственно
(определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); 
- стандартное отклонение
ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»;
см. прил. 4).
Критические границы R/S-критерия для a=0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)1=2,7 и (R/S)2=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
Оценим адекватность
построенной модели Брауна: 
с
параметром сглаживания 
(см. таблица
2):
Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна
|
Проверяемое свойство |
Используемые статистики |
Граница |
Вывод |
||
|
наименование |
значение |
нижняя |
верхняя |
||
| Независимость |
d–критерий Дарбина-Уотсона r(1)-коэффициент автокорреляции |
d=2,79
-0,44 |
0,82 |
1,32 0,666 |
Нельзя сделать вывод по этому критерию r(1)<0,666 адекватна |
| Случайность | Критерий пиков (поворотных точек) | 6>2 | 2 | адекватна | |
| Нормальность | RS-критерий |
R/S= |
2,7 | 3,7 | неадекватна |
| Мат.ожидание≈0 | t-статистика Стьюдента |
|
2,306 | адекватна | |
| Вывод: модель статистически неадекватна | |||||
5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
%
Значение Eотн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.
Оценим точность модели
Брауна с параметром сглаживания 
:
Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.
6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
1) Точечный прогноз 
:
млн.
руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.
2) Интервальный прогноз
с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3:
млн. руб.,
где tтаб=1,083 - табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности g=0,7.
Таблица 3
|
t |
yt |
|
||
| 1 | 43 | 16 | ||
| 2 | 47 | 9 | ||
| 3 | 50 | 4 | ||
| 4 | 48 | 1 | ||
| 5 | 54 | 0 | ||
| 6 | 57 | 1 | ||
| 7 | 61 | 4 | ||
| 8 | 59 | 9 | ||
| 9 | 65 | 16 | ||
|
Среднее |
5 |
- |
60 |
|
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
1) Точечный прогноз:
млн.
руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.
2) Интервальный прогноз с надежностью g=0,7:
млн. руб.,
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.
Построим прогноз для модели Брауна на следующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса по формуле:
.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
млн.
руб.
С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
млн.
руб.
Значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.
7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «yt» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:
Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2.
