Быстрый поиск

Дипломная работа: Оптимизация работы предприятия ООО "Техсервис" по критерию прибыли за счет инноваций технологии и экономии ресурсов

Случайная компонента обусловлена бессистемным, случайным влиянием на хt каких-либо случайных факторов.

Временной ряд представляется в табличном или графическом виде. В табл. 2.10 представлен временной ряд изменения некоторого показателя xit в фиксированные равноотстоящие моменты времени tk,k = .

Табл. 2.10 читается так: "В первый момент времени t = 1 показатель хt, принял значение, равное 2; при t=2 хt=1; при t=3 хt=4 и т.д.

рис.2.8 – Графическое представление временного ряда

Этот же временной ряд представлен в виде графика изменения xi во времени (рис. 2.8).

Из рис. 2.8 видно, что с течением времени значение ряда xit увеличивается, хотя в отдельных случаях (t2, t7, t10) соответствующие уровни ряда xi2 xi7 xi10 меньше, чем в предшествующие моменты времени: xi2< xi1 , xi7 <xi6 и т. д. В этих случаях говорят, что наблюдается тенденция увеличения значений ряда со временем (пунктирная линия), а отдельные отклонения от тенденции f(t) носят случайный характер.

Выявление тенденции изменения показателя является основной операцией при расчете прогноза.

Однако недостаточно установить только факт увеличения (уменьшения) показателя во времени; необходимо вычислить, как он изменяется во времени, т. с. выявить вид функции f(t).

2.2.7 Определение вида прогнозной модели. Линеаризация тренда

Зависимость f(t) выявляется с помощью процедуры экстраполяции тенденций исследуемого процесса, заключающейся в подборе теоретической кривой, адекватно описывающей процесс изменения показателя.

Экстраполяция ряда выполняется с помощью математических функций, которые подбираются под эмпирическую совокупность статистических данных. Эта функция позволяет получить расчетные значения уровней ряда, т. е. значения, которые наблюдались бы при полном совпадении теоретической кривой с фактическими значениями ряда.

Экстраполяция тенденции временного ряда осуществляется в два этапа:

•выбор типа кривой, форма которой соответствует характеру тенденции временного ряда;

•определение численных значений параметров кривой.

Выбор типа кривой (основной этап при экстраполяции тенденций ряда. Это достаточно трудоемкий процесс, ибо перебор различных видов функциональных зависимостей осуществляется в обширном классе аналитических функций. В практике экстраполяции тенденции временных рядов наиболее часто встречаются следующие зависимости (рис.2.9):

1)линейная функция: х = a + bt;

2)парабола: х = а + bt + ct2;

3)полином третьей степени: х = а + bt + ct2 + dt3;

4)гипербола: х = а +

5)степенная функция: х = аtb

6) экспоненциальная функция: х = аеbt ;

7) модифицированная экспонента: x=k - аеbt ;

8)экспоненциально-степенная функция: х = eattb;

9)логистическая (S – образная ) функция: x = k (1+be-at) ;

10)функция Гомпертца: x = kabt;

11)квадратная логистическая функция: ;

12)логарифмическая функция: x = b lgt.

При экстраполяции тенденций ряда задача состоит в том, чтобы определить параметры выбранной функции a0, a1, а2 и т. д. Для определения этих параметров применяют метод наименьших квадратов.

рис. 2.9. – Общий вид некоторых прогнозных кривых

2.2.8 Предварительная обработка прогнозной информации

При значительном разбросе значении исходного ряда для облегчения процедуры выбора типа кривой и уменьшения трудоемкости се математического описания осуществляют предварительную обработку исходного числового ряда путем его сглаживания и выравнивания.

Процедуру сглаживания применяют в целях уменьшения случайных отклонений единичных значений числового ряда, как правило, методом скользящей средней. Для этого определяют средние значения групп точек исходного ряда, при этом группы выбирают как бы скользящими от начала к концу ряда. Так, к примеру, при сглаживании группы по пяти значениям, имеем группы:

…

Остающиеся крайние точки (х1, х2 и xn-1, xn) сглаживают по специальным формулам.

Для сглаживания по трем точкам применяют формулы:

;

где х0, — исходное и сглаженное значения средней точки в скользящей группе; х-1, — исходное и сглаженное значения в левой от средней точке; х+1, — исходное и сглаженное значения в правой от средней точке.

Для средней точки скользящей группы из т = 2к +1 точек в общем виде формула имеет вид

При большом числе точек исходного ряда используют рекуррентную формулу:

При наличии в исходном ряде значительных случайных отклонений единичных реализаций от групповых средних процедура сглаживания дает хорошие результаты, способствуя выявлению тенденции ряда. При необходимости сглаживание может быть выполнено повторно по уже сглаженному ряду значений. Однако эффективность многократного сглаживания быстро уменьшается и более одного — трех раз его выполнять нецелесообразно.

Метод наименьших квадратов дает наиболее точные результаты при аппроксимации линейных зависимостей. Достаточно успешно его применяют также для определения параметров парабол, кубических полиномов и гипербол. Чтобы получить параметры других аппроксимирующих зависимостей, прибегают к процедуре выравнивания тренда путем его линеаризации. То есть эмпирическую зависимость вида x = f(t) приводят к виду

X=A+BT.

Коэффициенты А и В линеаризованной зависимости определяют методом наименьших квадратов, после чего осуществляют обратный переход от вычисленных значений А и В к исходным a и b произвольной функции x = f(t).

2.2.9 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов (МНК) заключается в минимизации суммы квадратов случайных отклонений , фактических значений временного ряда от тренда f(t):

(2.15)

Минимизируется сумма квадратов отклонений, а не самих отклонений по той причине, что эти отклонения могут иметь как положительное, так и отрицательное значения и при суммировании взаимно погашаются. Отсюда название метода.

МНК дает наиболее точные результаты в случае, когда f(t) имеет линейный вид. Однако на практике этим методом пользуются и при определении параметров функций, описываемых параболической и гиперболической зависимостями; погрешность МНК в этом случае для практических целей не существенна. Рассмотрим МНК для определения параметров следующих зависимостей:

f(t)= a0 + a1t - линейная зависимость;

f(t)= a0 + a1t + a2t2 – парабола;

- гипербола.

Для линейной зависимости условие (2.15) запишется в виде

(2.16)

Для краткости обозначим сумму через Q.

Тогда задача определения тренда формулируется так: найти такие значения коэффициентов а0 и а1, чтобы Q = min Q.

Необходимым условием осуществления минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по параметрам а0 и а1:

После преобразования получим систему так называемых нормальных уравнений:

Решив эту систему относительно а0 и а1, получим параметры функции f(t)= a0 + a1t.

2.2.10 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов с весами

Экстраполяция выполненной с помощью МНК тенденции изменений показателя на прогнозный период предполагает, что вес наблюдения (уровни временного ряда) равнозначны для прогноза. Однако информация об изменении показателя в период времени, непосредственно примыкающий к моменту прогноза, "ценнее" для прогнозирования, чем в более удаленный. Но и более удаленные от момента прогноза наблюдения временною ряда также несут значительную информацию о процессе, поэтому пренебрегать этими наблюдениями при расчете прогноза не следует.

Для учета различной "ценности", или, как это принято в терминологии прогнозирования и информатики, "веса" информации в различные моменты времени применяют метод наименьших квадратов с весами (МНКВ) и метод экспоненциального сглаживания.

Рассмотрим метод наименьших квадратов с весами.

Суть метода заключается в том, что каждому отклонению , придается вес βt<1, причем веса возрастают для точек, находящихся ближе к моменту прогнозирования. Следовательно, чем дальше наблюдение (уровень) стоит от момента прогноза, тем меньший вес оно имеет, тем меньшее влияние оказывает на формирование уровня прогнозного значения показателя.

Для определения веса βt, удобно использовать выражение

βt = λn-(t-1) (2.17)

где λ — некоторое число, меньшее единицы;

п — число наблюдений.

Чем меньше величина λ, тем меньше ранние наблюдения влияют на прогноз.

Условие (2.17) для МНКВ запишется в виде

Система нормальных уравнений для МНКВ имеет вид

2.2.11 Прогнозирование временных рядов методом экспоненциального сглаживания

Идея метода заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону, причем чем дальше от момента прогноза отстоит точка ряда, тем меньшее участие принимает она в формировании прогнозного значения.

В общем виде скользящая средняя St временного ряда по т наблюдениям при длине ряда п определяется по формуле

(2.18)

С помощью скользящей средней можно прогнозировать временные ряды, однако на практике этот метод используется редко из-за грубых результатов.

Прогноз временных рядов методом экспоненциального сглаживания (в дальнейшем ЭС) основывается на вычислении экспоненциальной средней k-гo порядка для ряда хі:

(2.19)

где — экспоненциальная средняя k-го порядка для t-го наблюдения временного ряда;

— экспоненциальная средняя [k-1]-го порядка для [t-1]-го наблюдения временного ряда;

k — порядок средней, характеризующий уровень ряда в зависимости от степени прогнозирующего полинома;

t — точка ряда, для которой вычисляется средняя;

i-номера точек, для которых вычисляется средняя, ;

α — параметр сглаживания.

Экспоненциальная средняя для t-й точки временного ряда равняется некоторой доле экспоненциальной средней [k-1]-го порядка для предыдущей точки временного ряда.

Эта доля определяется коэффициентом α, называемым параметром сглаживания.

Физический смысл параметра α заключается в том, что он показывает вес t-го наблюдения в прогнозе.

Для рядов, описываемых линейной зависимостью, вычисляются дне экспоненциальные средние: первого и второго порядков: и ; для рядов, описываемых квадратичной зависимостью, вычисляются три средние: первого, второго и третьего порядков: , , . Вообще для ряда

порядок k изменяется в пределах от 1 до n+1.

Экспоненциальную среднюю первого порядка вычисляют по формуле

(2.20)

В практических вычислениях вместо формул (2.19) и (2.20) удобно использовать рекуррентное соотношение

(2.21)

Экспоненциальная средняя равняется сумме долей экспоненциальных средних и . Величина этих долей определяется параметром сглаживания α.

Для прогноза методом ЭС необходимо коэффициенты уравнения тренда, например коэффициенты ад и а} для линейного тренда хt=а0+а1t, выразить через экспоненциальные средние по следующим формулам:

Тогда величина прогноза ряда хt=а0+а1t для точки t+τ,

где l — глубина прогноза, рассчитывается по формуле

(2.22)

Для случая, когда тренд описывается квадратичном полиномом хt= a0 + a1t + 1/2a2t2, коэффициенты , ивыражаются через экспоненциальные средние следующим образом:

Прогнозные значения в этом случае рассчитываются по формуле

Для вычисления экспоненциальных средних линейной и квадратичной моделей необходимо задать значения параметра сглаживания α и так называемые начальные условия - ,,, которые подставляются в рекуррентную формулу (7.33) при вычислении , , для t = 1.