Реферат: Волны в упругой среде. Волновое уравнение
или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)
(2.12)
(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.
Наряду со
смещением 
нас интересуют скорость v =
, с
которой
.движутся
отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация 
и напряжение
. Дифференцируя (2.11) по
t и но x, получаем:
v=
uf’(x 
ut)
(2.13a)
=f'(x
ut),
(2.13б)
=Ef’
(x 
ut).
(2.13в)
Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.
На рис. 5
показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту
времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там,
где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так
как они обе пропорциональны производной f'{x 
ut). Физическая
интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние
(бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения,
ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его
возрастание сменяется убыванием (или наоборот).
Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что
(2.14)
где
(2.15)
есть
величина, не зависящая от вида функции f и целиком
определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным
акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с
u его важнейшей акустической характеристикой. Название
величины 
связано с формальной
аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности
потенциалов, v - силе тока).
§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях
1. Волновое уравнение.
Мы
рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих
параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической
структуры. Под смещением 
мы здесь
понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, заполняющего объем,
заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.
Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению
(2.16)
где р = —
есть
давление в газе или жидкости. Здесь 
—
значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0.
Величины р0, 
не
зависят ни от х, ни от t.
Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).
Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.
При заданной
деформации 
в
твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это
обстоятельство не играет, существенной роли.
В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.
Есть однозначная функция плотности:
p=f(p). (2.17)
Введем обозначения
, (2.18)
где 
и 
— соответственно изменения
давления и плотности при нарушении равновесия.
Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.
получаем:
(2.19)
Найдем теперь
связь между 
и деформацией 
=
. Мы сначала выразим
через 
, а затем 
через 
:
а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:
P0+
=f(
+
)
разлагая f(
+
) в
ряд по степеням 
,
P0+
=f(
)+f’(
)
+1/2f’(
)(
)2......
Так как P0=f(
), то получаем:
=f’(
)
+1/2f’’(
)(
)2.....
(2.20)
Здесь мы
сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения
настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20) членами,
пропорциональными (
)2, (
)3,
. . ., и заменить (2.20) линейным соотношением
=f’(
)
Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.
f’(
)
—постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием
среды при равновесии.
б) Объем V0 в результате деформации превращается в объем
V=V0 (1+
),
(2.21)
так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:
Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:
Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:
Таким образом,
(2.22)
Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение
(2.23)
(2.24)
Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).
2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния
pV=RT, (2.25)
где p – давление, V—объем одного моля, R—универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по термодинамической шкале («абсолютная температура»), или
где М— масса 1 моля, = M/V— плотность.
Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.
Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид
(2.26)
где
постоянная величина (С и С — теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь
(2.27)
(формула Лапласа).
Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что
(2.26а)
т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение
(2.27а)
Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).
Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.
Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.
Список использованной литературы.
à Горелик, Колебания и волны,
à И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
à Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
Задача №1.
Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.
Задача №2.
Две волны Х1=Аsin(wt-kl) и Х2=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.
Задача №3.
Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.
Для рецензии и заметок:
