Учебное пособие: Моделирование экономики
Эластичность предложения по цене показывает на сколько % изменится предложение при изменении цены товара на 1 %. Обозначается эластичность
;
Рассмотрим :
a) 
;
б) 
;
;
в) 
;
.
4 Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов
предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма
желательно и удобно оценивать привлекательность набора
товаров количественно 
,
приписать каждому набору X из пространства товаров С какое-то число и(Х).
Получается функция и: С
R. Главное требование к такой функции, чтобы
она отражала отношение (слабого) предпочтения на С, т.е. удовлетворяла
условиям :
и(Х) < u{Y), если и только если X < Y
и(Х) = u(Y), если и только если X~Y, значит и
и(Х) < и(У), если и только если Х< Y.
Такая функция называется функцией полезности. Видно, что функция полезности постоянна на каждом классе равноценности, так что ее и вполне правильно представлять себе как функцию, "пересчитывающую" классы равноценности в сторону все большего предпочтения наборов товаров.
Работать с функцией полезности гораздо удобнее, чем с системой. Однако математики выяснили, что если на систему не накладывать никаких ограничений, кроме уже рассмотренных ранее, а именно, транзитивность, совершенность и рефлексивность, то функции полезности может и не существовать. Тем не менее при некоторых естественных условиях, наложенных на систему функция полезности существует.
Теперь можно сформулировать условия, при которых существует функция полезности.
Теорема Если система предпочтений непрерывна, то существует непрерывная функция полезности.
Рис.4.1
Надо отметить, что функцияполезности, если она существует, не определяется единственным образом ( рис.4.1).
Основные свойства функции полезности вытекают из ее связи и подчиненности системе предпочтений. Функция полезности неубывающая и дифференцируема.
Состояние рынка, при котором спрос равен предложению называется равновесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения -называется равновесной ценой
Теоремa Пусть функции спроса и предложения непрерывны и, D(р0) > S(p0) при некоторой цене р0; тогда существует состояние равновесия.
ЛЕКЦИЯ 5
Тема: Типы производственных функций и их свойства
План
1. Типы производственных функций
2. Предельный анализ факторов и однородность производственных функций
3. Эластичность производственных функций
4. Замещение факторов в производственных функциях
5. Производственная функция Кобба-Дугласа
1. Производственные функции можно разделить по количеству используемых переменных, по виду функций и по их свойствам.
Под производственной функцией понимают уравнение, связывающее выпуск продукции и затраты. Производственные функции по количеству переменных различают:
- однофакторные: 
или 
;
- двухфакторные: 
;
- многофакторные.
По аналитическому виду:
А) линейные производственные функции
.
Здесь параметры 
и 
выражают
производительность факторов 
и 
,
то есть показывают абсолютный прирост производства, когда один фактор остается
неизменным, а другой возрастает на единицу. Линейные функции часто используются
в краткосрочных и среднесрочных экономических моделях.
б) степенные производственные функции
,
,
.
Параметры 
и 
выражают эластичность
уровня производства 
по отношению к факторам 
и 
, то есть показывают
относительный прирост продукции, связанный с относительным приростом 
и 
.
-
объем трудовых ресурсов в натуральном количестве,
-
число рабочих, число человеко-дней,
-
выпуск продукции в стоимостном или натуральном виде.
в) более сложные производственные функции CES
,
где 
- параметр, выражающий эластичность замены
ОФ и занятости.
2. Предполагается, что
производственные факторы удовлетворяют аксиоме. Существует подмножество
производства страны затрат, называемое экономической областью 
, в которой увеличение любого вида затрат не
приводит к уменьшению выпуска. Если 
- две точки этой области,
то 
влечет 
.
Эта аксиома утверждает, что производственные факторы не какая-то совершенно абстрактная функция, придуманная теоретиками - математиками.
Она отражает утверждение, пусть и не на всей своей области определения, а только на ее части: в мало-мальски разумной экономике увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.
В дифференциальной форме
это выражается в том, что в этой области первые частные производные функции
неотрицательны: 
- непрерывная и дифференцируемая
.
.
Эти производные называются предельными продуктами.
Можно составить
производственные функции данного производства даже ничего не зная о
производстве. Надо только поставить у возможного производства счетчик (человека
на какое-то автоматическое увеличение), который будет фиксировать увеличиваемые
ресурсы и 
- количество продукции, которую производство
произвело. Если накопить достаточно много такой статической информации, учесть
работу производства в различных режимах, то можно прогнозировать выпуск
продукции, зная объем ввезенных ресурсов, а это и есть производственная функция.
3 Понятие «однородность производственной функции» включает в себя следующее ее свойство: равномерное увеличение всех производственных факторов вызывает пропорциональное увеличение продукта. Выразим это математически:
Функция 
однородна в степени h. если
.
Таким образом, когда
каждая независимая переменная принимает значения 
, значение
функции 
возрастает в 
раз.
Величина 
показывает степень использования
производственных факторов или их эффективность. В случае, когда 
, эффективность производственных факторов
будет равна 1, при 
говорят, что производственные
факторы обладают растущей эффективностью и соответственно при 
эффективность факторов снижается
4. Эластичностью экономического показателя называется его способность реагировать в большей или меньшей степени на изменение другого показателя.
Определим эластичность
объема производства 
по некоторому фактору как
отношение темпов прироста 
к темпам прироста этого
фактора.
Рассчитаем коэффициент
эластичности 
по основным фондам 
:
;
;
;
Здесь 
- непрерывная дифференцируемая функция по 
.
Так как на практике это условие выполняется редко, то коэффициент эластичностьи часто выражается через приросты.
;
Пусть 
, тогда
-
равен относительному изменению 
.
;
Коэффициент эластичности
показывает как изменяется (в %) величина 
, если
величина 
возрастает на 1%.
Если коэффициент эластичности в какой-нибудь точке равен 1, то относительная и предельная величины равны друг другу. Это выполняется в точках, в которых относительная величина достигает минимума или максимума.
Иногда экономические
показатели характеризуются коэффициентом эластичности. Если 
, то говорят, что экономический показатель
эластичен по 
; если 
, то
говорят, что экономический показатель абсолютно эластичен.
Так как производственная функция содержит несколько факторов, то следует исследовать эластичность по всем факторам. Вводится понятие частной эластичности.
;
.
Для функции 
параметры 
и 
являются частными коэффициентами
эластичности.
;
.
4. Понятие замещения
основывается на предположении, что производственные факторы могут заменять друг
друга, и показывает, как при неизменной величине продукта можно изменять
соотношения между факторами. Для 
можно поставить вопрос,
насколько должно измениться число занятых при некотором изменении объема ОПФ,
чтобы величина произведенного продукта осталась неизменной. Оценка замещения 
и 
определяется как
отношение двух предельных величин и называется предельной нормой замещения.
или
.
Например, если единичное
изменение 
увеличивает 
на 6
единиц, а единичное изменение 
увеличивает 
на 3 единицы, можно сказать, что 
остается неизменным, если при росте 
на одну единицу число занятых увеличивается
на 2 единицы. В этом случае
;
;
ед.
ед.
ед.
ед.
Различают ПФ (рис. 5.2, а и б).
а) Пф с взаимозаменяемыми факторами
б) Пф с дополняющими факторами
Рис.5.2
На рисунке изображены
изокванты производственных функций. Каждая точка показывает значение продукта,
произведенного с помощью комбинации факторов 
.
Множество этих точек лежит на поверхности, называемой поверхностью
производственных функций. Пересечение этой поверхности с плоскостями, параллельными
плоскости 
, образуют кривые, называемые изоквантами.
Каждая точка на этих кривых дает комбинацию производственных факторов,
соответствующих одинаковому значению производственных функций.
Если производственные факторы можно заменять лишь в фиксированных пропорциях, то говорят, что производственные функции обладают нулевой предельной нормой замены.
5. ПФ Кобба-Дугласа (CDPF) принадлежит к наиболее известным, широко применяемым ПФ.
.
Ученые Дуглас и Кобб
предприняли попытку оценить значения 
, используя данные по
американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 года
индекс производства 
, индекс основного капитала 
, индекс труда 
. Они
пришли к выводу, что
,
(таким образом имеет место неизменный эффект масштаба). С тех пор формула
,
,
для которой 
называют функцией Кобба-Дугласа. Функция
наиболее часто используемая претерпела изменения
,
где 
- темп научно-технического прогресса. При 
