Учебное пособие: Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
U
∙ [ K(x
←x
) ∙ Y(x
) + Y*(x
←x
) ] = u
,
[ U
∙ K(x
←x
) ] ∙ Y(x
) = u
- U
∙ Y*(x
←x
) ,
Или
получаем краевые условия, перенесенные в точку x
:
U
∙ Y(x
) = u
,
где
U
= [ U
∙ K(x
←x
) ] и u
= u
- U
∙ Y*(x
←x
) .
И
так в точку x
переносим матричное краевое условие
с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого
края и получаем:
U
∙ Y(x
) = u
,
V
∙ Y(x
) = v
.
Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:
∙ Y(x
) = 
.
А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].
То есть, получив
U
∙ Y(x
) = u
,
применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U
∙ Y(x
) = u
.
И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем
Y(x
) = K(x
←x
) ∙ Y(x
) + Y*(x
←x
) .
И получаем
U
∙ [ K(x
←x
) ∙ Y(x
) + Y*(x
←x
) ] = u
,
[ U
∙ K(x
←x
) ] ∙ Y(x
) = u
- U
∙ Y*(x
←x
) ,
Или
получаем краевые условия, перенесенные в точку x
:
U
∙ Y(x
) = u
,
где
U
= [ U
∙ K(x
←x
) ] и u
= u
- U
∙ Y*(x
←x
) .
Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U
∙ Y(x
) = u
.
И так далее.
И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.
В
итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей
коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно
проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым
известным методом для получения решения Y(x
) в рассматриваемой точке x
:
∙ Y(x
) = 
.
5 Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Этот вариант метода еще не обсчитан на компьютерах.
Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:
Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ,
Y(1) = K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) .
Подставим эти формулы в краевые условия и получим:
U∙Y(0) = u,
U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .
и
V∙Y(1) = v,
V∙[ K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) ] = v,
[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .
То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,
[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .
Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x) в любой рассматриваемой точке x:
∙ Y(x) = 
.
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.
Используем свойство перемножаемости матриц Коши:
K(x
←x) = K(x
←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ … ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x)
и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде:
K(0←x) = K(0←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x),
K(1←x) = K(1←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x),
Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:
[ U∙ K(0←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,
[ V∙ K(1←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x)
или в виде:
[ U∙ K(0←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ] ∙ Y(x) = u* ,
[ V∙ K(1←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ] ∙ Y(x) = v* .
Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:
[ U∙ K(0←x
) ∙ K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ] ∙ Y(x) = u* ,
[ U∙ K(0←x
) ] ∙ { K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ∙ Y(x) } = u* ,
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ U∙ K(0←x
) ]
∙
{ K(x
←x
) ∙ K(x
←x) ∙ Y(x) } = u*
.
Далее последовательно можно записать:
[[
U∙ K(0←x
) ]
∙
K(x
←x
) ] ∙ { K(x
←x) ∙ Y(x) } = u*
,
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[
U∙ K(0←x
) ]
∙
K(x
←x
) ] 
∙
{ K(x
←x) ∙ Y(x) } = u*
,
Далее аналогично можно записать:
[[[
U∙ K(0←x
) ]
∙
K(x
←x
) ] 
∙
K(x
←x) ] ∙ { Y(x) } = u*
,
[ матрица ] ∙ { вектор} = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[[
U∙ K(0←x
) ]
∙ K(x
←x
) ] 
∙ K(x
←x) ] 
∙ Y(x) = u*
.
