Быстрый поиск

Реферат: Використання комп’ютерів у фізиці

Частоти нормальних коливань для kс=k

2n=,

де N-число частинок, n-номер коливань n=1, …, N.

8.3. Фур’є аналіз.

Зміщення частинок можна представити у вигляді лінійної комбінації нормальних коливань, тобто лінійної суперпозиції синусоїдальних доданків.

Взагалі довільна періодична f(t) з періодом Т може бути записана у вигляді ряду Фур’є по sin i cos

f(t)=1/2 a0+,

0-основна кругова частота, 0=2/Т

Доданки для n = 2, 3… являють другу і третю гармоніки. Коефіцієнти Фур’є виражаються

an =2/T,bn =2/T,

На практиц використовують скінчене число членів n.

8.4. Хвильовий рух.

Ми виявили, що коливання окремих зв’язаних осциляторів призводить до розповсюдження енергії на довільну відстань. Знову запишемо рівняння для зміщення

, i=1, …, N.

Розглянемо перехід N прямує до нескінченості, a прямує до 0 за сталої довжини ланцюга. Це дискретне рівняння можна замінити хвильовим. ui(t) замінити на u(x, t), де x – неперервна змінна

похідну по часу записати як частинну похідну.

Через те що частинки розподілені неперервно, можна ввести величини M=m/a T=ka

легко показати що

Хвильове рівняння має величезну кількість розв’язків наприклад

Оскільки хвильове рівняння лінійне, то розв’язок можна представити у вигляді ряду Фур’є.

Якщо хвиля при русі зберігає свою форму то кажуть, що вона не диспергує, це зумовлено лінійністю зв’язку i k, інакше кожна гармоніка хвилі рухається з тією ж швидкістю. Якщо ж швидкість хвил залежить від довжини хвилі (або хвильового числа), то кажуть, що диспергує, цьому випадку форма хвилі змінюється з часом.

8.5. Інтерференція і дифракція.

Про інтерференцію говорять, коли змішуються хвилі від невеликого числа джерел, а про дифракцію коли від великого.

Дослід Юнга.

Дві щілини, монохроматичне світло. Щілини як точкові джерела

Електричне поле буде рівне сумі

Інтенсивність дорівнює .

8.6. Поляризація.

Розглянемо явище, коли цікавить напрямок коливань. Для поперечної електромагнітної хвилі. Напруженість двовимірна векторна функція вздовж z-розповсюджується хвиля.

Ex (z,t) Ey(z,t) Для монохроматичної хвилі =const, але компоненти коливаються незалежно.

Щоб сумарне поле знайти треба векторно скласти компоненти.

8.7. Геометрична оптика і принцип найменшого часу.

Геометричною оптикою можна користуватись, коли <<l, l – розмір перепон чи детекторів.

Для променів, що розповсюджуються, виконується принцип Ферма: промінь світла йде по шляху між двома точками, який вимагає найменшого часу.

Аналогічний принцип найменшої дії використовується замість законів Ньютона у якост фундамента всієї класичної механіки. В однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно.

Розглянемо дзеркало:

a + b = d

Цікавим застосування принципа Ферма для задач заломлення, коли світло падає на поверхню розділу двох речовин, у яких швидкість світла різна:

n = c/v,

де n – показник заломлення.

9. Статичні поля зарядів струмів.

Обчислюємо поля, що створюються розподілом зарядів або струмів. Одержуємо за методом релаксац розв’язок рівняння Лапласа і Адассона.

9.1.Вступ.

Дано q, v. Сила Лоренца діє на рухомий заряд, перший доданок сила Кулона.

F = q(E + [vB]), у точці знаходження заряду, можемо розрахувати рух зарядженої частинки.

9.2. Електричне поле і потенціал.

N-зарядів qi в ri. E(r) = K((qi/|r - ri|3)(r – ri)) – згідно принципу суперпозиції.

K = 1/40 = 3 *109 (H*м2/Кл2), 0 діелектрична стала вакууму, e = 1.6*10-19 (Кл).

Кулон є великою одиницею і у розрахунках будемо вибирати різні одиниці.

Наочне представлення Е векторного поля є зображення силових ліній електричного поля:

1. Силова лінія напрямленою лінією, дотична до якої в кожній точці паралельна полю.

2. Це гладк неперервні лінії за виключенням зарядів.

3. Число ліній пропорційне величині заряду.

Побудова ліній.

Беремо точку (x, y) обчислюємо Ех і Еу.

В точці будуємо відрізок S в напрямку Е,

х = S(Ех/|E|), =S(Еy/|E|)|

Продовжуємо поки лінія не піде до “ – “ заряду.

Починаємо малювати силові лінії поблизу позитивного заряду, так щоб число ліній було пропорційне заряду. Основні особливості програми стосуються графічних нструкцій. Розсіювання  – частинок на Au

a = K (2e79e/mб)(1/r2), mб = 6.65*10-27 кг, 1фм = 10-15(м), с = 3*108(м/с).

Часто зручніше розглядати енергії, а не сили. Для цього вводять поняття потенціалу:

v(r2) v(r1) = -.

або - напруженість поля мінус градієнт потенціалу.

v – скалярна величина і зміст має різниця потенціалів:

В одновимірному випадку Е = - dv/dx. Якщо v залежить від , то Е = - dv/dr

Напрямок Е співпадає з напрямком найскорішого зменшення електричного потенціалу.

Для точкового заряду якщо .

Поверхня на якій потенціал приймає однакові значення називається еквіпотенціальною поверхнею. Лін поля ортогональні до еквіпотенціальних ліній. Компоненти еквіпотенціалів рівні: , .

9.3. Магнетизм силові лінії магнітного поля.

Поле В визначається законом Біо-Савара і має вигляд:

[I] = A; [B] = Тл; (Тл м)/А – магнітна проникність.

Це для ділянки струму, що знаходиться у початку координат. Для довільної ділянки довжиною , що знаходиться в точці , магнітне поле в точці :

Найважливіш задачі: провідник, петля, котушка.

9.4. Числовий розв’язок рівняння Лапласа.

Часто є відомим електричний потенціал на границях області. Нехай маємо систему провідників кожний під’єднано до батареї. Легко визначити потенціали провідників. Для металу потенціал одинаковий. Однак, розподіл заряду визначити складно, бо він залежить від форми тіла.

Нехай задано потенціал на границі і потрібно знайти потенціал в точках, де немає заряду. Будемо знати , то знайдемо . Така задача називається краєвою.

Прямий метод базується на рівнянні Лапласа, яке має вигляд:

Для довільно форми провідників аналітичних методів немає. Скористаємося наближеними чисельними методами.

Для двовимірно сітки за відсутності зарядів потенціал визначається:

Тобто, значення у центральній дорівнює середньому за сусідніми комірками. Така властивість аналог рівняння Лапласа. У правильності цієї формули можна переконатись для точкового заряду.

Метод релаксації базується на наступному алгоритмі:

Розбиваємо область сіткою із заданим потенціалом на границі.

Комірки ділимо на внутрішні і граничні, граничним приписуємо потенціал границі.

Внутрішнім приписуємо довільний потенціал, найкраще розумне початкове значення.

Приписуємо внутрішнім значення, усереднені за 4-ма сусідніми точками.

Повторюємо пункт 4, поки не досягнемо заданої точності.

Якщо область ма заряди з об’ємною густиною , то використовуємо рівняння Пуассона:

- густина зарядів.

Для двовимірного випадку:

10. Чисельне нтегрування

Ілюструємо класичні методи і метод Монте-Карло для оцінки чисельних інтегралів.

10.1. Прост одномірні методи чисельного інтегрування.

Ці методи (класичні) мають перевагу для малих розмірностей.

Геометрична інтерпретація нтегралу - площа під графіком у межах x = a до x = b, відрізок ділимо на n відрізків довжиною :

де , і ,

Оцінка площі - сума площ прямокутників. Значення обчислюється у початку відрізків і оцінка інтегралу дається формулою:

10.2. Інший метод трапеції із сторонами у початку і кінці відрізка.

Тобто, f(x) замінюємо прямою, що сполучає значення f(x) в кінцях відрізка. Площа

Повна площа

Більшу точність дає квадратична, або параболічна інтерполяція за трьома точками

Площа під параболою між точками виражається формулою:

Повна площа всіх параболічних сегментів:

де n – має бути парним.

Точність методу прямокутників зростає, як = , трапецій – n-2, парабол – n-4.

10.3.Чисельне інтегрування багатовимірних інтегралів.

Багато фізичних задач містять усереднення по багатьом змінним. Наприклад, середнє значення енергії системи частинок E(ri,pi), i =1, ..., n. Якщо розмірність простору N = 6n, а число точок на відрізку одного виміру p, то потрібно обчислити за pN точками суму.

Ще дуже складно визначати N-1 - межу інтегрування. Стандартні методи використовуються для N = 2 - 5.

Найпростіший метод оцінки багатовимірних інтегралів зводиться до послідовного взяття одновимірних інтегралів:

і .

10.4. Обчислення нтегралів найпростішим методом Монте-Карло.

а) nS - число точок, для яких , - загальне число точок. Рівномірно розігруємо точки (xi, yi) , оцінка інтегралу є:

б) Ймовірнісна інтерпретація . Інтеграл - середнє значення функції, помножене на відрізок інтегрування. Розігруються, рівномірно, значення хі і розраховується значення f(xi).

10.5. Обчислення багатовимірних інтегралів методом Монте-Карло.

Для прикладу знайдемо центр мас і момент інерції двовимірного тіла:

Меж нтегрування визначаються геометрією тіла. Координати центра мас:

, .

Момент нерції навколо осі z:

Чисельна оцінка:

n - число точок, для яких - незалежн випадкові числа на відрізках

такі, що попадають у границі фігури.

Якщо для d = 1 - похибка апроксимації спадає, як n-a , то в d - вимірному випадку ця похибка спадає як n-a/d.

10.6. Аналіз похибки метода Монте-Карло.

Точність визначається кількістю випробувань в методі Монте-Карло або кількістю відрізків у класичних методах.

Для методу Монте-Карло похибка прямує до нуля, як .

Дисперсія є мірою похибки:

- дисперсія одиничного виміру,

, , ,

, .

Якщо б не залежала від х, то .

- дисперсія середнього.

Похибку можна зробити малою, збільшуючи число випробувань або збільшуючи ефективність випробувань.

10.7. Нерівномірний розподіл ймовірності.

Побачили, як можна рівномірний розподіл використовувати для оцінки інтеграла.

Однак, важливо вибірку підінтегральної функції частіше виконувати, у областях , де велика або швидко змінюється. Для такої вибірки потрібен нерівномірний розподіл ймовірності. Розглянемо метод оберненого перетворення.

Введемо поняття щільності ймовірності p(x), при цьому - ймовірність того, що випадкове число належить відрізку .

нормується так, щоб

Нехай r – випадкове число, рівномірно розподілене на одиничному інтервалі [0,1] з густиною ймовірності:

Наше завдання знайти зв’язок між x i r, такий, що якщо r рівномірно розподілено, то х за законом p(x). Зв’язок встановлюють через інтегральну функцію розподілу:

де Р(x) – інтегральна функція розподілу, яка рівна ймовірності одержання випадкового числа меншого за х.

Зв’язок має вигляд:

Випадкова величина P(x) розподілена рівномовірно.

Ймовірність знайти x в інтервалі , рівна dP(x).

Співвідношення між dP(x) і dx можна знайти

отже в межах 0r1 маємо dP(x)=P(x) dx=Pu(r) dr

Бачимо, що х розподілено з бажаною густиною імовірності.

Приклади:

Згенеруємо рівномірно розподілені на [a, b] числа. Шукана густина

P(x) = r

x = P-1(r), , x= a + (в-a) r.

Змінна розподілена за законом (1), коли r—рівномовірне.

Інший випадок

Однак метод оберненого перетворення може бути не найефективнішим. Для використання методу має виконуватись два співвідношення, має братись інтеграл Р(х) і розв’язуватись співвідношення Р(х)=r відносно х.

Для цього зробити не можна.

Однак можна згенерувати двовимірний гаусів розподіл

перейдемо до полярних координат.

знайдемо мовірність у вигляді:

можемо генерувати розподілами за експоненційним законом, а рівномірно в межах [0,2] то змінні будуть розподілені за нормальним законом з нульовим середнім і дисперсією .

10.8. Вибірка за значимістю (суттєва вибірка).

Похибка методу Монте-Карло пропорційна , познайомимось з методом зменшення . Введемо додатню Р(х) таку, що тоді

можна переписати у такому виді

Обчислимо нтеграл , виконуючи вибірку у відповідності до розподілу Р(х), при рівномірному Р(х)=1/(в-а).

Вибираємо Р(х), що веде себе подібно до f(x) там де f(x) велика, тому підінтегральний вигляд буде функцією, що слабо змінюється і дисперсія буде малою.

10.9 Метод випадкового блукання (метод Метрополіса)

Метод одержання не рівномірного розподілу полягає у тому , що деякі вибірки відкладаються.

Нехай хочемо генерувати змінні з розподілом Р(х).

Випадкове блукання задається імовірністю переходу w(xixj) від одного xi до іншого xj для того, щоб розподіл точок x0, x1, x2,… сходився до Р(х).