Реферат: Применение математики в статистике
Прямолинейная связь имеет место, когда с возрастанием (или убыванием) значений Х значения Y увеличиваются (или уменьшаются) более или менее равномерно.
В этом случае уравнение связи записывается так:
`yх = b0 + b1х.
Криволинейная форма связи может выражаться различными кривыми, из которых простейшими являются:
1) парабола второго порядка
`yх = b0 + b1х +b2х2;
2) гипербола
`yx =b0+b1 /x;
3) показательная
`yx = b0b1x;
либо в логарифмическом виде
ln`yx = lnb0 + xlnb1.
После определения формы связи, т.е. вида уравнения регрессии, по эмпирическим данным определяют параметры искомого уравнения.
При этом отыскиваемые параметры должны быть такими, чтобы рассчитанные по уравнению теоретические значения результативного признака максимально приближались к эмпирическим данным.
Чаще всего определение параметров уравнения регрессии осуществляется с помощью метода наименьших квадратов, в котором предполагается, что сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических должна быть минимальной,
В зависимости от формы связи в каждом конкретном случае определяется своя система уравнений, удовлетворяющая принципу минимизации.
Предположение о парной линейной зависимости между Х и Y можно описать функцией
Y = b0 + b1Х + и,
где b0, b1 – истинные значения параметров уравнения регрессии в генеральной совокупности; и – случайная составляющая.
Существует несколько причин возникновения случайной составляющей:
1) невключение объясняющих переменных в уравнение регрессии;
2) агрегирование объясняющих переменных, включенных в уравнение регрессии;
3) неправильное описание структуры модели, т.е. неверный выбор объясняющих переменных;
4) неправильная функциональная спецификация модели. Например, для моделирования использована линейная функция, в то время как зависимость между переменными – нелинейная;
5) ошибки наблюдения (ошибки данных).
По выборочным данным определяются оценки истинных (в случае правильной спецификации модели) параметров уравнения регрессии и случайной составляющей
`yx=b0+b1х+e
где b0, b1, е – оценки неизвестных b0, b1, и. В случае парной линейной зависимости вида
`yx=b0+b1х
В настоящее время необходимость в ручных расчетах отпала, так как существует множество компьютерных программ, реализующих методы регрессионного анализа. Важно понимать смысл параметров и уметь их адекватно интерпретировать.
На основе уравнений регрессии часто рассчитывают коэффициенты эластичности результативного признака относительно факторного.
Коэффициент эластичности (Э) показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак Y при изменении факторного признака Х на 1%.
Рассмотрим методы регрессионного и корреляционного анализов. Предположим, что нас интересует выручка от продажи баночного пива в магазинах города в течение дня. Мы провели исследование в 20 случайно выбранных магазинах и получили следующие данные (табл. 6):
Таблица 6. Данные исследования
| Номер магазина | Число посетителей | Выручка, у.е. |
| 1 | 907 | 11,20 |
| 2 | 926 | 11,05 |
| 3 | 506 | 6,84 |
| 4 | 741 | 9,21 |
| 5 | 789 | 9,42 |
| 6 | 889 | 10,08 |
| 7 | 874 | 9,45 |
| 8 | 510 | 6,73 |
| 9 | 529 | 7,24 |
| 10 | 420 | 6,12 |
| 11 | 679 | 7,63 |
| 12 | 872 | 9,43 |
| 13 | 924 | 9,46 |
| 14 | 607 | 7,64 |
| 15 | 452 | 6,92 |
| 16 | 729 | 8,95 |
| 17 | 794 | 9,33 |
| 18 | 844 | 10,23 |
| 19 | 1010 | 11,77 |
| 20 | 621 | 7,41 |
| Итого | 14,623 | 176,11 |
Для прогноза объемов продаж применим простую модель парной регрессии, в которой используется только одна факторная переменная – Х (число посетителей магазина). С увеличением числа посетителей растет выручка от продажи. Рассчитаем параметры уравнения регрессии:
`yx =b0+b1x
Для облегчения расчетов воспользуемся табл. 7.
Таблица 7
| Магазин | Число покупателей X | Выручка Y | X2 | Y2 | XY |
| 1 | 907 | 11,20 | 822 649 | 125,4400 | 10 158,40 |
| 2 | 926 | 11,05 | 857 476 | 122,1025 | 10 232,30 |
| 3 | 506 | 6,84 | 256,036 | 46,7856 | 3461,04 |
| 4 | 741 | 9,21 | 549 081 | 84,8241 | 6 824,61 |
| 5 | 789 | 9,42 | 622 521 | 88,7364 | 7 432,38 |
| 6 | 889 | 10,08 | 790 321 | 101,6064 | 8961,12 |
| 7 | 874 | 9,45 | 763 876 | 89,3025 | 8 259,30 |
| 8 | 510 | 6,73 | 260 100 | 45,2929 | 3 432,30 |
| 9 | 529 | 7,24 | 279 841 | 52,4176 | 3 829,96 |
| 10 | 420 | 6,12 | 176 400 | 37,4544 | 2 570,40 |
| 11 | 679 | 7,63 | 461 041 | 58,2169 | 5 180,77 |
| 12 | 872 | 9,43 | 760 384 | 88,9249 | 8 222,96 |
| 13 | 924 | 9,46 | 853 776 | 89,4916 | 8 741,04 |
| 14 | 607 | 7,64 | 368 449 | 58,3696 | 4 637,48 |
| 15 | 452 | 6,92 | 204304 | 47,8864 | 3 127,84 |
| 16 | 729 | 8,95 | 531 441 | 80,1025 | 6 254,55 |
| 17 | 794 | 9,33 | 630 436 | 87,0489 | 7 408,02 |
| 18 | 844 | 10,23 | 712 336 | 104,6529 | 8634,12 |
| 19 | 1010 | 11,77 | 1 020 100 | 138,5329 | 11 887,70 |
| 20 | 621 | 7,41 | 385 641 | 54,9081 | 4 601,61 |
| Итого | 14623 | 176,11 | 11 306 209 | 1 602,0971 | 134 127,90 |
Коэффициент b1 характеризует наклон линии регрессии. b1 = 0,00873. Это означает, что при увеличении Х на единицу ожидаемое значение Y возрастет на 0,00873. То есть регрессионная модель указывает на то, что каждый новый посетитель магазина в среднем увеличивает недельную выручку магазина на 0,00873 у.е. (или можно сказать, что ожидаемый прирост ежедневной выручки составит 8,73 у.е. при привлечении в магазин 100 дополнительных посетителей). Отсюда b1 может быть интерпретирован как прирост ежедневной выручки, который варьирует в зависимости от числа посетителей магазина.
Свободный член уравнения b0 = +2,423 у.е., это – эначение Y при X, равном нулю. Поскольку маловероятно число посетителей магазина, равное нулю, то можно интерпретировать b0 как меру влияния на величину ежедневной выручки других факторов, не включенных в уравнение регрессии.
Регрессионная модель может быть использована для прогноза объема ежедневной выручки. Например, мы хотим использовать модель для предсказания средней ежедневной выручки магазина, который посетят 600 покупателей.
Когда мы используем регрессионные модели для прогноза, важно помнить, что обсуждаются только значения независимых переменных, находящиеся в пределах от наименьшего до наибольшего значений факторного признака, используемые при создании модели. Отсюда, когда мы предсказываем Y по заданным значениям X, мы можем интерполировать значения в пределах заданных рангов Х, но мы не можем экстраполировать вне рангов X. Например, когда используется число посетителей для прогноза дневной выручки магазина, то мы знаем из данных примера, что их число находится в пределах от 420 до 1010. Следовательно, предсказание недельной выручки может быть сделано только для магазинов с числом покупателей от 420 до 1010 чел.
Хотя метод наименьших квадратов дает нам линию регрессии, которая обеспечивает минимум вариации, регрессионное уравнение не является идеальным в смысле предсказания, поскольку не все значения зависимого признака Y удовлетворяют уравнению регрессии. Нам необходима статистическая мера вариации фактических значений Y от предсказанных значений Y. Эта мера в то же время является средней вариацией каждого значения относительно среднего значения Y. Мера вариации относительно линии регрессии называется стандартной ошибкой оценки.
Для проверки того, насколько хорошо независимая переменная предсказывает зависимую переменную в нашей модели, необходим расчет ряда мер вариации. Первая из них – общая (полная) сумма квадратов отклонений результативного признака от средней – есть мера вариации значений Y относительно их среднего `Y. В регрессионном анализе общая сумма квадратов может быть разложена на объясняемую вариацию или сумму квадратов отклонений за счет регрессии и необъясняемую вариацию или остаточную сумму квадратов отклонений.
Сумма квадратов отклонений вследствие регрессии это – сумма квадратов разностей между `y (средним значением Y) и `yx (значением Y, предсказанным по уравнению регрессии). Сумма квадратов отклонений, не объясняемая регрессией (остаточная сумма квадратов), – это сумма квадратов разностей y и `yx. Эти меры вариации могут быть представлены следующим образом (табл. 8):
Таблица 8
| Общая сумма квадратов (ST) | = | Сумма квадратов за счет регрессии (SR) | + | Остаточная сумма квадратов (SE) |
Следовательно, 91,3% вариации еженедельной выручки магазинов могут быть объяснены числом покупателей, варьирующим от магазина к магазину. Только 8,7% вариации можно объяснить иными факторами, не включенными в уравнение регрессии.
В простой линейной регрессии г имеет тот же знак, что и b1, Если b1 > 0, то r > 0; если b1 < 0, то r < 0, если b1 = 0, то r = 0.
В нашем примере r2 = 0,913 и b1 > 0, коэффициент корреляции r = 0,956. Близость коэффициента корреляции к 1 свидетельствует о тесной положительной связи между выручкой магазина от продажи пива и числом посетителей.
Мы интерпретировали коэффициент корреляции в терминах регрессии, однако корреляция и регрессия – две различные техники. Корреляция устанавливает силу связи между признаками, а регрессия – форму этой связи. В ряде случаев для анализа достаточно найти меру связи между признаками, без использования одного из них в качестве факторного признака для другого.
3. Доверительные интервалы для оценкиДоверительные интервалы для оценки неизвестного генерального значения `yген(myх) и индивидуального значения `yi.
Поскольку в основном для построения регрессионных моделей используются данные выборок, то зачастую интерпретация взаимоотношений между переменными в генеральной совокупности базируется на выборочных результатах.
Как было сказано выше, регрессионное уравнение используется для прогноза значений Y по заданному значению X. В нашем примере показано, что при 600 посетителях магазина сумма выручки могла бы быть 7,661 у. е. Однако это значение – только точечная оценка истинного среднего значения. Мы знаем, что для оценки истинного значения генерального параметра возможна интервальная оценка.
Доверительный интервал для оценки неизвестного генерального значения `yген(myх) имеет вид
где
Здесь `yx – предсказанное значение Y
(`yx==b0+b1yi);
Syx – стандартная ошибка оценки;
п – объем выборки;
хi – заданное значение X.
Легко видеть, что длина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. Для заданного уровня значимости a увеличение вариации вокруг линии регрессии, измеряемой стандартной ошибкой оценки, увеличивает длину интервала. Увеличение объема выборки уменьшит длину интервала. Более того, ширина интервала также варьирует с различными значениями X. Когда оценивается `yx по значениям X, близким к `x, то интервал тем уже, чем меньше абсолютное отклонение хi от `x (рис. 9.5).
Когда оценка осуществляется по значениям X, удаленным от среднего `x, то длина интервала возрастает.
Рассчитаем 95%-й доверительный интервал для среднего значения выручки во всех магазинах с числом посетителей, равным 600. По данным нашего примера уравнение регрессии имеет вид
`yx = 2,423 + 0,00873x:
и для `xi = 600 получим `yi; =7,661, а также
По таблице Стьюдента t18 = 2,10.
Отсюда, используя формулы (9.31) и (9.32), рассчитаем границы искомого доверительного интервала для myx
Итак, 7,369 £ myx £7,953.
Следовательно, наша оценка состоит в том, что средняя дневная выручка находится между 7,369 и 7,953 у.е. для всех магазинов с 600 посетителями.
Для построения доверительного интервала для индивидуальных значений Yx, лежащих на линии регрессии, используется доверительный интервал регрессии вида
где hi,`yi, Syx, п и хi определяются, как и в формулах (9.31) и (9.32).
Определим 95% – и доверительный интервал для оценки дневных продаж отдельного магазина с 600 посетителями
В результате вычислений получим
Итак, 6,577 £ `yi £ 8,745.
Следовательно, с 95%-й уверенностью можно утверждать, что ежедневная выручка отдельного магазина, который посетили 600 покупателей, находится в пределах от 6,577 до 8,745 у. е. Длина этого интервала больше чем длина интервала, полученного ранее для оценки среднего значения Y.
Доверительные интервалы для оценки истинных значений неизвестного параметра уравнения регрессии b1 и коэффициента регрессии р в генеральной совокупности.
Построим доверительный интервал для истинного значения генерального параметра b1. Для этого проверим гипотезу о равенстве нулю b1. Если гипотеза будет отклонена, то подтверждается существование линейной зависимости Y от X. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:
Н0: b1 = 0 (линейной зависимости нет);
Н1: b1¹ 0 (линейная зависимость есть).
Для проверки гипотезы Н0 используется t-критерий (случайная величина t, имеющая распределение Стьюдента с п – 2 степенями свободы):
Где
Убедимся, что полученный выборочный результат является достаточным для заключения о том, что зависимость объема выручки от числа посетителей магазина статистически существенна на 5%-м уровне значимости.
Следовательно,
Найдем наблюдаемое значение критерия t
tкрит(a=0,05;k=18)= 2,1 (по таблице распределения Стьюдента).
Так как 13,77>2,10, то нулевая гипотеза Н0 отвергается в пользу альтернативной гипотезы Н1, и можно говорить о наличии существенной линейной зависимости ежедневной выручки от числа посетителей магазина.
Второй, эквивалентный первому, метод для проверки наличия или отсутствия линейной зависимости переменной Y от Х состоит в построении доверительного интервала для оценки b1 и определении того, принадлежит ли значение b1 этому интервалу. Доверительный интервал для оценки b1 получают по формуле
Найдем для нашего примера 95%‑й. доверительный интервал для оценки b1:
Итак, 0,0074 £ b1 £ 0,01006, т.е. с 95%-й уверенностью можно считать, что истинное значение коэффициента регрессии b1 находится в промежутке между числами 0,0074 и 0,01006. Так как эти значения больше нуля, то можно сделать вывод, что существует статистически значимая линейная зависимость выручки от числа посетителей. Если бы интервал включал нулевое значение, то мы не смогли бы сделать этого вывода.
Третий метод проверки существования линейной связи между двумя переменными состоит в проверке выборочного коэффициента корреляции r.
Для этого выдвигается нулевая гипотеза Н0: ρ=0 (нет корреляции).
Альтернативная гипотеза Н1: ρ ¹0 (корреляция существует).
Для проверки нулевой гипотезы Н0 используем t‑критерий (случайную величину t, имеющую распределение Стьюдента с п – 2 степенями свободы) (9.11).
Наблюдаемое значение t составит
Полученный результат практически совпадает со значением, полученным по формуле (9.35). Следовательно, мы вновь подтверждаем наличие линейной связи между двумя переменными Y и X.
Список литературы
1. Апатенок Р.Ф. Математика для экономистов. М, Просвещение, 1998.
2. Красс М. Математика для экономических специальностей. Учебник. 3-е изд., перераб и доп. М, Экономист, 1999.
3. Роббинс С.В. Математика в статистике. М., Наука, 1967.
