Лабораторная работа: Дисперсионный анализ

Задача 7

По данным задачи 1 для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда вычислить коэффициент детерминации.

Решение

Определим дисперсию по каждой группе рабочих и по совокупности в целом:

Группа 1 s 21 = ((18 – 23,4)2 + (24 – 23,4)2 + 3 ∙ (25 – 23,4)2) / 5 = 7,44;

Группа 2 s 22 = ((26 – 28,4)2 + (28 – 28,4)2 + 2 ∙ (29 – 28,4)2 + (30 – 28,4)2) / 5 = 1,84;

Группа 3 s 23 = ((35 – 36)2 + 2 ∙ (36 – 36)2 + (37 – 36)2) / 4 = 0,5;

Группа 4 s 24 = ((40 – 43,25)2 + (42 – 43,25)2 + (45 – 43,25)2 + (46 – − 43,25)2) / 4 = 5,69;

Группа 5 s 25 = ((50 – 52)2 + (54 – 52)2) / 2 = 4.

По совокупности в целом:

s2 = ((21,5 – 34)2 · 5 + (28,5 – 34)2 · 5 + (35,5 34)2 · 4 + (42,5 – 34)2 · 4 + (49,5 – 34)2 · 2) / 20 = 85,55.

Определим общую дисперсию

= [(21,5 2 · 5 + 28,52 · 5 + 35,52 · 4 + 42,52 · 4 + 49,52 · 2) / 20] – [(21,5 · 5 + 28,5 · 5 + 35,5 · 4 + 42,5 · 4 + 49,5 · 2) / 20)]2 = 1176,95 – 1092,30 = 84,65.

Задача 2

За отчетный период имеются следующие данные об электровооруженности труда выработке продукции рабочими завода

Рачий	Электровооруженность труда одного рабочего, кВт*ч	Рачий	Электровооруженность труда одного рабочего, кВт*ч
1	24,7	11	27,4
2	23,0	12	26,7
3	24,0	13	23,3
4	28,0	14	22,1
5	26,3	15	25,8
6	24,3	16	22,6
7	24,7	17	23,6
8	20,0	18	25,9
9	21,4	19	21,9
10	25,0	20	23,8

Сгруппируйте рабочих по электровооруженности труда, образовав четыре группы с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности рабочих в целом подсчитайте:

1.         Их число;

2.         Среднюю электровооруженность труда;

3.         Дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

4.         Коэффициент вариации.

Постройте гистограмму и полигон распределения рабочих. Сделайте вывод.

Решение

Группировка рабочих по электровооруженности труда.

1. Найдем минимальное и максимальное значение варианты данной совокупности по признаку возраста:

Min = 20 кВт·ч;

Мах = 28 кВт·ч.

Опредилим размах вариации:

D =28 – 20=8 (кВт·ч);

Тогда величина интервала составит:

d = (28 – 20) / 4 = 2 (кВт·ч).

2. Определим границы интервалов (групп) и их середины:

Таблица 1

№ группы	Границы интервала	Середина интервала
1	20 – 22	21
2	22 – 24	23
3	24 – 26	25
4	26 – 28	27

4.         Определим принадлежность каждого рабочего к определенному интервалу (произведем группировку)

В группу 1 (границы: 20 – 22) входят рабочие:

№8 (Электровооруженность труда =20,0 кВт·ч)

№9 (Электровооруженность труда =21,4 кВт·ч)

№19 (Электровооруженность труда = 21,9 кВт·ч)

Количество человек в 1‑ой группе = 3

В группу 2 (границы: 22 – 24) входят рабочие:

№2 (Электровооруженность труда = 23,0 кВт·ч)

№13 (Электровооруженность труда = 23,3 кВт·ч)

№14 (Электровооруженность труда = 22,1 кВт·ч)

№16 (Электровооруженность труда = 22,6 кВт·ч)

№17 (Электровооруженность труда = 23,6 кВт·ч)

№20 (Электровооруженность труда = 23,8 кВт·ч)

Количество человек во 2‑ой группе = 6

В группу 3 (границы: 24 – 26) входят рабочие:

№1 (Электровооруженность труда = 24,7 кВт·ч)

№3 (Электровооруженность труда = 24,0 кВт·ч)

№6 (Электровооруженность труда = 24,3 кВт·ч)

№7 (Электровооруженность труда = 24,7 кВт·ч)

№10 (Электровооруженность труда = 25,0 кВт·ч)

№15 (Электровооруженность труда = 25,8 кВт·ч)

№18 (Электровооруженность труда = 25,9 кВт·ч)

Количество человек в 3‑й группе = 7

В группу 4 (границы: 11 – 13) входят рабочие:

№4 (Электровооруженность труда = 28,0 кВт·ч)

№5 (Электровооруженность труда = 26,3 кВт·ч)

№11 (Электровооруженность труда = 27,4 кВт·ч)

№12 (Электровооруженность труда = 26,7 кВт·ч)

Количество человек в 4‑й группе = 4

5.         Определим среднюю электровооруженность труда по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 х1 = (19,0 + 20,4 + 20,9) / 3 = 20,1 (кВт·ч)

Группа 2 х2 = (22,0 + 22,3 + 21,1 + 21,6 + 22,6 + 22,8) / 6 = 22,1 (кВт·ч);

Группа 3 х3 = (23,7 + 23,0 + 23,3 + 23,7 + 24,0 + 24,8 + 24,9) / 7 = 23,9

(кВт·ч);

Группа 4 х4 = (27,0 + 25,3 + 26,4 + 25,7) / 4 = 26,1 (кВт·ч).

По совокупности в целом:

Х = (20 · 3 + 22 · 6 + 24 · 7 + 26 · 4) / 20 = 23,2 (кВт·ч)

6.         Определим дисперсию по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 s 21 = ((19,0 – 20,1)2 + (20,4 – 20,1)2 + (20,9 – 20,1)2) / 3 = 0,65.

Группа 2 s 22 = ((22,0 – 22,1)2 + (22,3 – 22,1)2 + (21,6 – 22,1)2 + (21,1 –

-22,1)2 + (22,6 – 22,1)2 + (22,8 – 22,1)2) / 6 = 0,34.

Группа 3 s 23 = ((23,7 – 23,9)2 + (23 – 23,9)2 + (23,3 – 23,9)2 + (23,7 – 23,9)2

+ (24,0 – 23,9)2+ (24,8 – 23,9)2 + (24,9 – 23,9)2) / 7 = 0,44.

Группа 4 s 24 = ((27,0 – 26,1)2 + (25,3 – 26,1)2 + (26,4 – 26,1)2 + (25,7 –

-                                   26,1)2) / 4 = 0,42.

По совокупности в целом:

s2 = ((20 – 23,2)2 ·3+ (22 – 23,2)2 · 6+ (24 23,2)2 · 7+ (26 – 23,2)2 · 4) / 20 =3,76

7.         Определим среднее квадратическое отклонение по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 s1 = Ö0,65= 0,8. (кВт·ч)

Группа 2 s2 = Ö0,34 = 0,58 (кВт·ч)

Группа 3 s3 = Ö0,44 = 0,66 (кВт·ч)

Группа 4 s4 = Ö0,42 = 0,65 (кВт·ч)

По совокупности в целом:

s = Ö3,76 = 1,94 (кВт·ч).

8.         Определим коэффициент вариации по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 v1 = 0,8 / 20,1 = 0,040 (4,0%).

Группа 2 v2 = 0,58 / 22,1 = 0,026 (2,6%).

Группа 3 v3 = 0,66 / 23,9 = 0,028 (2,8%).

Группа 4 v4 = 0,65 / 26,1 = 0,025 (2,5%).

По совокупности в целом:

V = 1,94 / 23,2 = 0,084 (8,4%).

Таблица 1. Группировка рабочих по электровооруженности труда

Границы интервалы	Середина интервала	Вес варианты	Показатели по каждой группе
			Средняя электровооруженность труда.	Дисперсия	Ср. квад. отклонение	Коеффициент вариации %
19 – 21	20	3	20,1	0,65	0,8	4,0
21 – 23	22	6	22,1	0,34	0,58	2,6
23 – 25	24	7	23,9	0,44	0,66	2,8
25 – 27	26	4	26,1	0,42	0,65	2,5

Выводы

На основании полученных результатов по группировке рабочих по электровооруженности труда и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– наибольшее количество рабочих имеют электровооруженности труда в пределах 23–25 кВт·ч (в среднем 24 кВт·ч), наименьшее количество рабочих имеют электровооруженности труда в интервале 19 – 21 кВт·ч (в среднем 20 кВт·ч). Средняя электровооруженности труда работников предприятия составляет 23,2 кВт·ч.

– в среднем отклонение от средней электровооруженности труда работников как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения составляет 1,94 кВт·ч, что составляет 8,4%.

Лабораторная работа №2

Расчет средней и показателей по данным сгруппированного массива

Цель научиться производить расчеты на ЭВМ по данным интервального вариационного ряда. Рассчитать среднюю, среднее квадратическое отклонение. Построить полигон и гистограмму. Проанализировать полученные данные.

Расчет средней, дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам (1) и (3). Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые» варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу сумму интервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi – частоты повторения каждой варианты.

Среднее линейное отклонение L – есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:

L=(S(Xi-X)*fi)/Sfi

Согласно формуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X), а затем каждое абсолютное отклонение взвешивают ((Xi-X)*fi), суммируют взвешенные абсолютные отклонения (S(Xi-X)*fi) и это суммы делят на сумму частот (Sfi).

Задача 1

В целях изучения норм расхода сырья на единицу продукции из партий изделий проведена двухпроцентная механическая выборка, в результате которой получена двухпроцентная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение

Расход сырья, г	Изготовлено изделий, шт.
До 20	25
20–22	32
22–24	67
24–26	37
Свыше 26	24
Итого	185

Определите:

1.         средний расход сырья на одно изделие;

2.         дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

3.         среднее линейное отклонение;

4.         коэффициент вариации.

Решение предоставьте в таблице. Поясните значение исчисленных

показателей.

Решение

Для упрощения решения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

Расход сырья на 1‑цу изделия, г.	Изготовленно изделий, шт.	Середина интервала.	|Х-Х|·f	(X – A)	(X – A) i	(Х – А)·f i	(Х – А) 2 i2	(X – A) 2 ·f i2
До 20	25	19	100	-4	-2	-50	4	100
20 – 22	32	21	64	-2	-1	-32	1	32
22 – 24	67	23	0	0	0	0	0	0
24 – 26	37	25	72	2	1	37	1	37
Свыше 26	24	27	96	4	2	48	4	96
Итого	185		å |Х-Х| · f= 332			å(X-A) ·f/ i = 3		å((X – A) / i) 2·f = 265

1. Для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов: Х=m1 · i +A; s2 = i 2 (n ·(m2 – m1 2);

m1= å((X – A) ·f / i))/åf; m2= å((X – A) / i) 2·f)/åf;

где

m1, m2 – соответственно моменты первого и второго порядка;

i – величина интервала;

А – варианта, имеющая наибольшую частоту;

F – значение весов или частот каждой варианты.

Наиболее частото встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. Значит А=23 (г.).

Определим величину интервала (визуально видно, что интервалы имееют равную величину):

I=22–20=24–22=26–24=2 (г.)

На основании расчетов представленных в таблице найдем Х и s2:

Х= (3/185) · 2 + 23=23,03 (г.)

s2 = 4 · ((265/185) – (3/185) 2)= 4 · (1,43 – 0)=5,72

Найдем среднее квадратическое отклонение:

s=√5,72=2,39 (г.)

2. Определим среднее линейное отклонение:

L= 332/185=1,79 (г.)

3. Определим коэффициент вариации:

V=1,79/23,03=0,078 (7,8%).

Вывод

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– средний расход сырья на единицу изделия равен ≈ 23 г.

– среднее квадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения на 2,39 г., что составляет 7,8% (см. коэффициент вариации).

– среднее линейное отклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, но менее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,79 г.

Лабораторная работа №3

 

Расчет внутри групповой и межгрупповой дисперсии. Правило сложения дисперсий

Цель изучить элементы дисперсионного анализа. Получить практические навыки производства на ЭВМ трудоемких расчетов показателей внутригрупповой, межгрупповой дисперсий для различного количества групп. Произвести расчет корреляционного отношения.

Проверить правило сложений дисперсий. Приобрести навыки анализа и практического применения этих показателей.

Выполнение задания предусматривает расчет показателей, характеризующих случайную и систематическую вариации и их роли в общей вариации. Эти показатели широко используются на производстве при количественной оценке влияния различных факторов на те или иные показатели, осуществляемой с помощью дисперсионного анализа.

Общая дисперсия рассматривалась при выполнение заданий 1 и 2. Она характеризует общую вариацию под влиянием всех причин, ее вызывающих и исчисляется по формуле (3).

Для оценки влияния группировочного признака (постоянного фактора) на величину вариаций рассчитывают межгрупповую дисперсию, исчисляемую на основании групповых средних:

 

U² =(S(Xi-X)² *fi)/Sfi (1)

U² – межгрупповая дисперсия;

Xi – групповые средние исчисляются по формуле (1)

X – общее среднее (также исчисляется по формуле (1)

fi – групповые частоты.

При оценке влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют внутригрупповую дисперсию. Она исчисляется как средняя арифметическая из групповых дисперсий.

s ² =(Ss ² i *fi)/Sfi (2)

s² – внутригрупповая (средняя из групповых) дисперсия;

s² – групповые дисперсии (исчисляются по формуле (2)).

В математической статистика доказано, что общая дисперсия s² равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е.

 

s² = s² +U²

Исходя из этого правила, можно определить влияние случайной и систематической дисперсий на общую дисперсию, установить тесноту связи между признаками. Для этого применяется в дисперсионном анализе корреляционное отношение ν:

ν=s /х

Задача 2

Имеются следующие данные о распределении рабочих по возрасту работы двух заводов и объединения

Возраст работы, лет		Количество рабочих
	Завод 1	Завод 2	Объединение
До 5 лет	67	32	99
5–10	125	77	202
10–15	162	119	281
15–20	89	70	159
Свыше 20	42	37	79

Определите:

1.         средний возраст работы одного рабочего по каждому заводу и по объединению в целом;

2.         дисперсию для каждого завода (внутригрупповую) и для объединения в целом (общую);

3.         среднюю из внутригрупповых дисперсий;

4.         межгрупповую дисперсию;

5.         корреляционное отклонение.

Проверьте правило сложения дисперсий. Поясните сущность исчисленных показателей.

Решение

1. Определим средний возраст работы одного рабочего по каждому заводу и по объединению в целом.

Так как нам дан интервальный ряд с равными интервалами, то определим сначала середины интервалов и полученные данные занесем в таблицу.

Таблица 1

Возраст работы, лет.	Середина интервала.	Количество рабочих.
		Завод 1	Завод 2	Объединение.
До 5	2,5	67	32	99
5 – 10	7,5	125	77	202
10 – 15	12,5	162	119	281
15 – 20	17,5	89	70	159
Свыше 20	22,5	42	37	79
Итого		485	335	820

Средний возраст работы одного рабочего на заводе 1:

Х1 = (2,5 · 67 + 7,5 · 125 + 12,5 · 162 + 17,5 · 89 + 22,5 · 42)/485=11,6 (лет).

Средний возраст работы одного рабочего на заводе 2:

Х2 = (2,5 · 32 + 7,5 · 77 + 12,5 · 119 + 17,5 · 70 + 22,5 · 37)/335=12,5 (лет).

Средний возраст работы одного рабочего на объединении в целом:

Х =(2,5 · 99 + 7,5 · 202 + 12,5 · 281 + 17,5 · 159 + 22,5 · 79)/820=12,0 (лет).

2. Определим дисперсию для каждого завода в отдельности (внутригрупповую) и по объединению в целом:

Дисперсия на заводе 1:

s2 1= ((2,5–11,6) 2 · 67 + (7,5–11,6) 2 · 125 +(12,5–11.6) 2 · 163 + (17,5 –11,6)2· 89 + (22,5–11,6) 2 · 42)/485=32,72;

Дисперсия на заводе 1:

s22=((2,5–12,5) 2 · 32 + (7,5–12,5) 2· 77 + (12,5–12,5) 2 ·119 + (17,5–12,5) 2· 70+ (22,5–12,5) 2 · 37)/335=31,57

Дисперсия по объединению в целом (общую дисперсию):

u 2=((2,5–12.0) 2 · 99 + (7,5–12,0) 2 · 202 + (12,5–12,0) 2 · 281 + (17,5–12,0) 2 ·159 + (22,5–12,0) 2 · 79)/820=32,46

3. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

s2 =(32,72+31,57) /2=32,15

4. Определим межгрупповую дисперсию:

s2 = ((11,6–12,0) 2 ·485 +(12,5–12,0) 2 ·335)/820=0,20

5. Определим среднее квадратическое отклонение для каждого завода в отдельности и по объединению в целом:

Завод 1:

s1=√32,72=5,72 (лет).

Завод 2:

s2=√31,57=5,62 (лет).

Объединение:

s=√32,46=5.7 (лет).

6. Определим корреляционное отклонение (коэффициент вариации):

Корреляционное отклонение (коэффициент вариации) для завода 1:

ν =√32,72 /11,6=0,493 (49,3%);

Корреляционное отклонение (коэффициент вариации) для завода 2:

ν = √31,57 /12,5=0,449 (44,9%);

Корреляционное отклонение (коэффициент вариации) по объединению в целом (общее):

ν = √32,46 /12,0=0,475 (47,5%).

7. Проверим правило сложения дисперсий:

u 2= 32,17 +0,2=32,37≈32,46

Выводы

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– средний возраст работы одного рабочего на заводе 1 равен 11,6 лет, на заводе 2 -12,5 лет и по объединению в целом -12,0 лет.

– в среднем отклонение от среднего возраста работы одного рабочего, как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения по заводу 1 составляет 5,72 лет (или 49,3%), по заводу 2 –5,62 лет (или 44,9%), по объединению в целом –5,7 лет (или 47,5%).