Быстрый поиск

Курсовая работа: Решение транспортных задач

Метод вычеркивания. Для проверки возможности образования цикла используется так называемый метод вычеркивания, который состоит в следующем.

Если в строке или столбце таблицы одна занятая клетка, то она не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждом столбце. Следовательно, можно вычеркнуть все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, затем вычеркнуть все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к строкам и продолжить вычеркивание строк и столбцов. Если в результате вычеркивания все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов условий является линейно независимой, а решение опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов условий линейно зависима, а решение не является опорным.

Метод минимальной стоимости. Данный метод позволяет построить опорное решение, которое достаточно близко к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи , i=1,2,…,m; j=1,2…,n. Данный метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости , и исключается из рассмотрения только одна строка(поставщик) или один столбец(потребитель). Очередную клетку, соответствующую , заполняют также. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы заканчиваются. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от него требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично поступают с потребителем.

Пример 2:

Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, доставки лекарств из трех складов в четыре аптеки.

Таблица 3

	80	120	160	120
120	1	3	4	2
160	4	5	8	3
200	2	3	6	7

Решение. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее было выбирать стоимости, вычеркивать строки и столбцы:

1 4 6 3

среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость . Это стоимость перевозки груза от первого поставщика первому потребителю. В соответствующую клетку (1,1) записываем максимально возможную перевозку (табл 4). Запасы первого поставщика уменьшаем на 80, . Исключаем из рассмотрения первого потребителя, так как его запросы удовлетворены. В матрице С вычеркиваем первый столбец.

Таблица 4

	80	120	160	120
120	1 80	3	4	2 40
160	4	5	8 80	3 80
200	2	3 120	6 80	7

В оставшейся матрицы С наименьшей является стоимость , максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от первого поставщика к четвертому потребителю, равна . В соответствующую летку таблицы записываем перевозку . Запасы первого поставщика исчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычеркиваем первую строку. Запросы четвертого потребителя уменьшаем на 40

В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость . Заполняем одну из двух клеток таблицы (2,4) или (3,2). Пусть в клетку (2,4) запишем . Запросы четвертого потребителя удовлетворены полностью, исключаем его из рассмотрения, вычеркиваем четвертый столбец в матрице С. Уменьшаем запасы второго поставщика

В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость . Запишем в клетку таблицы (3,2) перевозку Исключаем из рассмотрения второго потребителя, а из матрицы С второй столбец. Вычисляем

В оставшейся части матрицы С наименьшая стоимость Запишем в клетку таблицы (3,3) перевозку Исключаем из рассмотрения третьего поставщика, а из матрицы С третью строку. Определяем .

В матрице С остался единственный элемент . Записываем в клетку таблицы (2,3) перевозку .

Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N=m+n-1=3+4-1=6. Применяя метод вычеркивания, проверяем линейную независимость векторов условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице Х:

1 2 5 6

Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.

Переход от опорного решения к другому. В транспортной задаче переход от оного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок(осуществляется сдвиг по циклу). Перевозка «загружается» в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение.

Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.

Для удобства вычислений вершины циклов нумеруют и отмечают нечетные знаком «+», а четные знаком «-». Такой цикл называется означенным.

Сдвигом по циклу на величину называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», и уменьшение объемов перевозок на ту же величину во всех не четных клетках, отмеченных знаком «-».

1.2.3 МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ

Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов.

Если допустимое решение , i=1,2,…,m; j=1,2,…n транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков i=1,2,…,m и потребителей j=1,2,…,n, удовлетворяющее следующим образом:

Группа равенств (2.1) используется как система уравнений для нахождения потенциалов. Данная система уравнений имеет m+n неизвестных i=1,2,…,m и j=1,2,…,n. Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения, равно m+n-1. Так как число неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение произвольно, а остальные найти из системы.

Группа неравенств (2.2) используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:

(2.3)

Числа называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов условий) транспортной задачи.

Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные.

Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (l,k) таблицы, соответствующую . Если , то решение оптимальное. Если же , то для соответствующей клетки (l,k) строят цикл и улучшаю решение, перераспределяют груз

по этому циклу.

Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:

1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.

2. Построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их должно быть m+n-1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используется метод вычеркивания).

3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений:

которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения частного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам:

если известен потенциал , и

если известен потенциал

4. Проверить выполнения условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам

и те из них, которые больше нуля, записываются в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток , то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, опорное решение не является оптимальным.

5. Перейти к опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка

Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и «-», начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину . Клетка со знаком «-», в которой достигается остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным .

Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.

1.2.4 МЕТОД СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА

Согласно данному методу запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используется запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. При этом нулевые перевозки принято заносить в таблицу только в том случае, когда они попадают в клетку (i,j), подлежащую заполнению, т.е. в таблицу заносятся только базисные нули , остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 и векторы условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.

Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому, опорное решение, построенное по данному методу, может быть далеким от оптимального.

Пример 3:

Составить опорное решение методом северо-западного угла транспортной задачи, в которой 5 поставщиков и 5 потребителей. данные записаны в таблице 6

Таблица 6