Курсовая работа: Разработка динамических моделей для транспортно-производственной системы

во-первых, поставив в нее какой-то объем перевозок, мы должны вычесть эту же величину из других занятых клеток, чтобы не нарушить балансовых соотношений по ввозу и вывозу.

во-вторых, число клеток, включенных в новый план должно оставаться неизменным на единицу меньше суммарной численности поставщиков и потребителей.

Следовательно, вместо вошедшей клетки, одна, содержащаяся в предыдущем плане, должна быть исключена. Оба условия легко выполнить, если перераспределение поставок осуществлять по контуру (табл.4). Искомую величину перераспределяемой поставки определит минимальное значение, стоящее в клетках со знаком минус. В данном случае - 10 тыс. ц. Меньше этой величины перераспределять невыгодно, так как уменьшается эффект от улучшения плана и кроме того, на единицу превышается допустимое количество загружаемых клеток. Больше перераспределять нельзя, потому что в одной из клеток появится отрицательная перевозка, что абсурдно.

Новый (оптимальный) план и соответствующая ему система оценок приведен в табл.5

Таблица 5

Потребители Поставщики	Михайловское		Лебедево		Озерное		Мощность поставщиков	u
Заря	14	20	14	15	15	∆1,3 = -3	35	0
Восход	16	∆ 2,1 = -2	11	30	9	15	45	3
Радуга	15	∆3,1 = -1	15	∆3,2 = -1	12	20	20	0
Потребности потребителей	20		55		25		110
v	14		14		12

Рассчитав значения потенциалов vj и ui и величины ∆i,j запишем их соответствующие клетки (табл.5). Значения ∆i,j во всех незанятых клетках не больше нуля, что свидетельствует об оптимальности построенного плана, для которого значение целевой функции равно 1195. По сравнению с первым опорным планом затраты удалось снизить на 20 единиц.. Заметим, в одной из клеток ∆4,1 = 0, что свидетельствует о неоднозначности оптимального плана, т.е. достигнутое значение целевой функции может быть получено и при других значениях переменных. При решении данной задачи в программе Excel мы получим значения, которые приведены в таблице 5 [5].

3.2 Двойственная задача.

Предположим, что речь идет об установлении таких цен, которые бы стимулировали организацию, ответственную за выполнение перевозок, действовать в соответствии с оптимальным планом и затрачивать минимум средств на перевозку. Разность цен на продукт у потребителей и поставщиков должна быть такой, чтобы исключить возможность "спекуляции", т.е. по каждому направлению транспортировки она не должна превышать транспортных расходов.

, i =1…N, j=1…M        (1.4)

Критерием оптимальности в такой задаче можно принять разность взвешенной по оценкам продукции в пунктах потребления и пунктах поставок, которую нужно максимизировать:

         (1.5)

Задача, модель которой описывает соотношения (1.4) и (1.5), называется двойственной к задаче (1.1) и (1.3).

Отметим, что решение задачи (1.4) и (1.5) неразрывно связано с оптимальным решением прямой задачи (1.1) - (1.3). Именно для оптимальных значений переменных xi,j > 0 соотношения (1.5) выполняются как строгие равенства.

Важным для анализа свойством двойственных задач является совпадение оптимальных значений целевых функций (1.1) и (1.5):

          (1.6)

В справедливости соотношения (1.6) легко убедиться на нашем примере, подставив в него конкретные значения из табл.1.3.

Поскольку в оптимальном случае целевые функции прямой и двойственной задач совпадают, то наличие в правой части равенства оценок дает возможность ранжирования поставщиков и потребителей по степени эффективности. Так, величина оценки ui характеризует изменения целевой функции при изменении мощности поставщика на единицу. Легко заметить, что чем выше соответствующая оценка поставщика, тем выгоднее наращивать в нем производство.

Рассуждения о сравнительной эффективности потребителей прямо противоположны. Так как оценка пункта потребления vj показывает прирост производственно-транспортных затрат в расчете на единицу прироста потребности в этом пункте, то самым эффективным будет пункт потребления, имеющий минимальное значение оценки (в рассмотренном выше случае - элеватор в Озерном). Следует иметь в виду, что пользоваться оценками и делать на их основе какие-либо выводы можно лишь в пределах устойчивости оптимального плана, т.е. до тех пор, пока не меняется базис решения. Если же стоит задача проанализировать рассмотренную ситуацию при резком (значительном) изменении исходных данных, то это следует делать путем проведения вариантных расчетов, введя в условия задачи необходимые изменения и заново ее оптимизировав. При наличии стандартного программного обеспечения и средств диалогового общения с ПЭВМ такие расчеты не представляют затруднений [5].

3.3 Трехэтапная транспортно-производственная модель.

Теперь, после рассмотрения основных понятий, необходимых для нахождения и анализа оптимального плана транспортной задачи вернемся к задаче, описанной в пункте 2.4 и рассмотрим все три ее этапа. Самый простой путь нахождения плана заготовки, транспортировки и переработки зерна состоит в решении последовательно двух задач: оптимизации связей (производители зерна) – (элеваторы) и последующей оптимизации переработки на элеваторах и транспортировки зерна на мелькомбинаты. Но этот путь приемлем лишь в том случае, когда суммарные объемы производства зерна, мощности элеваторов и потребности мелькомбинатов совпадают. В противном случае так поступать нельзя, потому что загрузка промежуточных пунктов – элеваторов, будет определяться лишь с точки зрения затрат первого этапа, что неверно. Для решения такого класса задач успешно используется метод “фиктивной диагонали. Суть его состоит в том, что промежуточные пункты (в данном случае элеваторы) представлены дважды: как потребители – на первом этапе транспортировки и как поставщики – на втором (табл.6).

Клетки табл. 6, лежащие на пересечении одноименных столбцов и строк, получили название “фиктивной диагонали (отсюда и название метода) и имеют смысл ввоза продукта из промежуточных пунктов самим себе или говоря иначе объемы недоиспользования их мощностей. Нулевые затраты в этих клетках показывают, что недоиспользование мощностей элеваторов не связано с транспортно-производственными затратами.

Таблица 6

Постановка задачи и оптимальное решение

Потребители Поставщики	Мощность элеваторов						Потребность мелькомбинатов
	Михайловское		Лебедево		Озерное		Боровое		Мамонтово
Заря	14	20	14	15	15						35
Восход	16		11	40	9	5					45
Радуга	15		15		12	20					20
Михайлово							2	15	6	5	20
Лебедево							7		3	55	55
Озерное							4	25	9		25
	20		55		25		40		60

Заштрихованные клетки означают, что вывоз зерна из пунктов производства непосредственно на мелькомбинаты, минуя элеваторы, запрещен, также как и перевозки между элеваторами. Если задача решается на ПЭВМ, то в качестве коэффициентов целевой функции переменных, соответствующих этим клеткам, следует поставить достаточно большое число, значительно (например, в 20 раз) превышающее коэффициенты затрат в других клетках. В таблице 7 кроме общей постановки задачи приведено и ее оптимальное решение, для которого суммарные затраты составляют 1540 тыс. руб.

Таблица 7

Потребители Поставщики	Мощность элеваторов						Потребность мелькомбинатов
	Михайловское		Лебедево		Озерное		Боровое		Мамонтово
Заря	14	10	14	25	15						35
Восход	16	0	11	30	9	11					45
Радуга	15	10	15		12	14					20
Михайлово							2	20	6	0	20
Лебедево							7	0	3	55	55
Озерное							4	20	9	5	25
	20		55		25		40		60

При решении данной задачи на ПК получим решение, записанное в таблице 7. Цена перевозки при этом равна 1930 ед [5].

3.4 Зависимость параметров модели от параметров времени.

В данном разделе рассмотрим задачу, описанную выше. В этой задаче цена перевозок равна константе (ci,j=const), но так как мы рассматривает транспортно-производственную задачу в динамике, то возможны изменения в цене перевозок. То есть ci,j может изменять свои значения.

Рассмотрим от каких величин зависит значение стоимости перевозки:

1.      Расстояние, на которое происходит перевозка продукции – ri,j;

2.      Стоимость топлива - p;

Таким образом стоимость перевозки равна:

ci,j= ri,j*p

Рассмотрим как может изменяться данный показатель с течением времени. Расстояние, на которое происходят перевозки не изменяется, поэтому:

ri,j= const

Стоимость топлива может изменяться во времени. Этот показатель в основном дается в расходе на 100 км. дороги, которое проезжает транспортное средство. Возьмем этот показатель на примере автомобиля ЗИЛ-130, который расходует на 100 км. 30 литров топлива. Так как перевозки в данной ситуации происходят на расстояние, которое не превышает 100 км., то возьмем этот показатель на 1 км.

30/100=0,3 л.

Цена бензина за последние годы изменилась с 1,8 грн. до 3,6 грн.

Возьмем к примеру величину этих показателей, которые существуют в данный момент. Таким образом цена перевозок равна:

сi,j= ri,j*0,54

Для анализа исследуемой задачи рассчитаем расстояние, на которое происходят перевозки по формуле и запишем полученные данные в табл. 8:

ri,j= сi,j/0,54

Таблица 8

Потребители Поставщики	Мощность элеваторов			Потребность мелькомбинатов
	Михайловское	Лебедево	Озерное	Боровое	Мамонтово
Заря	25,93	25,93	27,78
Восход	29,63	20,37	22,22
Радуга	27,78	27,78	22,22
Михайлово				3,70	11,11
Лебедево				12,96	5,56
Озерное				7,41	16,67

Таким образом целевая функция измениться следующим образом:

Для анализа модели в динамике примем выражение за константу, равную 3574,1 и подставим эти данные в Mathcad.

Рис. 1. Изменение цены перевозок при изменении цены на топливо.

На рисунке 1 видно, как изменяется цены перевозок при изменении цены на топливо. В данном случае мы наблюдаем прямую зависимость роста цены перевозок, то есть данный рост цены перевозок является линейной зависимостью от цены на топливо.

Рассмотрим ситуацию, когда изменяется заработная плата водителей транспортных средств. Величина оплаты труда водителей рассчитывается по километражу, который этот водитель проехал. В данном случае стоимость перевозки составит:

ci,j= ri,j*g

где g – величина оплаты труда водителей. Величина этого показателя за последние годы изменился с 0,1 до 0,3 грн. за километр. Возьмем величину данного показателя равной 0,1, тогда величина const=будет равна 19300. Целевая функция примет вид:

И график функции:

Рис.2 Изменение цены перевозок при изменении величины оплаты труда водителей транспортных средств.

В данном случае график изменения цены перевозки грузов также имеет прямую линейную зависимость.

Выводы

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь. Применение экономико-математических методов и моделей позволяет существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный эффект без вовлечения в производство дополнительных ресурсов.

В данной курсовой работе была рассмотрена транспортно-производственная модель и ее разновидности, приведены примеры формулирования задач и решения их при помощи программы Microsoft Excel. Также были рассмотрены изменения результата оптимизации от параметра цены топлива, который может изменяться во времени. Но при изменении параметров, которые влияют на цену перевозок не изменяет оптимального плана, а действует только на сумму затрат на перевозку грузов. Также на цену перевозки могут влиять такие факторы:

- цена топлива;

- величина оплаты труда водителей транспортных средств;

- вид используемого транспортного средства и др.

 Анализ данной модели во времени дает возможность подсчитать затраты на перевозку грузов и, при увеличении таковых, вовремя увидеть нерентабельных потребителей и вовремя сократить объем производства для сокращения потерь при увеличении стоимости перевозок.

Список использованной литературы:

1.         Балдин К.В./ Математические методы в экономике/М-2003

2.         Данич В.Н./ Моделирование быстрых социально-экономических процессов/ М-2004.

3.         Просветов Г.Н./ Математические модели в экономике/М-2005

4.         Просветов Г.Н./Экономико-математическое моделирование/М-2004

5.         Франс Дж/ Экономико-математические методы и модели/М-2000