Курсовая работа: Применение методов дискретной математики в экономике

0, 0< х < 0,7

m(F2)= , 0,6 ≤ х ≤ 1,7

1, х > 1,7

μF2={0.6/ а1; 0.4/ а2; 0.3/ а3; 0.7/ а4; 0.9/ а5; 0.8/ а6}

a5

a6

a4

a1

a3

a2

Рисунок 6 - График функции принадлежности для F2

Для F2 значение m(F3) рассчитывается по следующей формуле

0, 0 < х < 120

m(F3)= , 120 ≤ х ≤ 300

1, х > 300

μF3={0.8/ а1; 0.4/ а2; 0.8/ а3; 0.4/ а4; 0.8/ а5; 0.8/ а6}

а1,а3, а5,а6

a2, a4

Рисунок 7 - График функции принадлежности для F3

Для F4 значение m(F4) рассчитывается по следующей формуле

0, 0 < х < 10

m(F4)= , 10 ≤ х ≤ 45

1, х > 45

μF4={0.3/ а1; 0.1/ а2; 0.6/ а3; 0.3/ а4; 0.9/ а5; 0.4/ а6}

a2

а1 а4

a3

a5

a3

Рисунок 8 - График функции принадлежности для F4

Для F5 значение m(F5) рассчитывается по следующей формуле

0, 0 < х < 1

m(F5)= , 1 ≤ х ≤ 10

1, х > 10

μF5={0.5/ а1; 0.6/ а2; 0.3/ а3; 0.8/ а4; 0.8/ а5; 0.3/ а6}

а1 а4

Рисунок 9 - График функции принадлежности для F5

Для F6 значение m(F6) рассчитывается по следующей формуле

0, 0 < х < 2

m(F6)= , 2 ≤ х ≤ 3.5

1, х > 3.5

μF6={0.7/ а1; 0.3/ а2; 0.2/ а3; 0.3/ а4; 0.2/ а5; 0.3/ а6}

Рисунок 10 - График функции принадлежности для F6

Для F7 значение m(F7) рассчитывается по следующей формуле

1, 0 < х < 1

m( F7)= , 1 ≤ х ≤3

0, х > 3

μF7={0.3/ а1; 0.5/ а2; 0.7/ а3; 0.8/ а4; 0.5/ а5;0.6/ а6}

а2 а5

а4

а3

а6

а1

Рисунок 11 - График функции принадлежности для F7

Для F8 значение m(F8) рассчитывается по следующей формуле

1, 0 < х < 1

m( F8)= , 1 ≤ х ≤ 3

0, х > 3

μF8={0.6/ а1; 0.9/ а2; 0.5/ а3; 0.8/ а4; 0.5/ а5; 0.7/ а6}

Рисунок 12 - График функции принадлежности для F8

Для F9 значение m(F9) рассчитывается по следующей формуле

0, 0 < х < 0.5

m(F9)= , 0.5 ≤ х ≤3,5

1, х > 3,5

μF9={0.9/ а1; 0.6/ а2; 0.8/ а3; 0.4/ а4; 0.9/ а5; 0.4/ а6}

а3

а4 а6

а2

а1 а5

Рисунок 13 - График функции принадлежности для F9

На основе графиков функций принадлежности всех альтернатив по девяти критериям определены их конкретные значения.

По этим данным составим матрицы нечётких отношений предпочтения R1 ,…,R9, причём элементы этих матриц находятся по формуле (14):

(14)

mR1 = mR2 =

mR3 = mR4 =

mR5 = mR6 =

mR7 = mR8 =

mR9 =

Задача выбора решается в соответствии с описанной выше процедурой, строится нечеткое отношение Q1 = R1 Ç R2 Ç …Ç R9:

 Q1=

Находится множество недоминируемых альтернатив на множестве {A, μQ1}: получаем множество НД=║1,1,1,1,1,1║

Строится отношение Q2:

Коэффициенты wk относительной важности критериев по оценке автора работы имеют следующие значения:

W1=0,1; W2=0,15; W3=0,1; W4=0,15; W5=0,09; W6=0,1; W7=0,05; W8=0,2; W9=0,06.

Определяется нечёткое отношение Q2:

                 (15)

mQ2(a1,a2)= 0,1*0,1 + 0,15*0,2 + 0,1*0,4 + 0,15*0,2 + 0,09*0 + 0,1*0,2 + +0,05*0 + 0,2*0 + 0,06*0,2 = 0,142.

Аналогично вычисляем остальные элементы матрицы.

Q2=

Находится подмножество недоминируемых альтернатив множества {А, }:

                  (16)

по всем i и j (i¹j),Находится подмножество недоминируемых альтернатив множества {A, μQ2}:

μQ2н,д,(а1)=1- max{0; 0,162 – 0,079; 0,219 – 0,065;0,16 0,107; 0,09 – 0,172; 0,108 – 0,08}= 0,846

μQ2н,д,(а2)=1- max{0,079 – 0,162; 0; 0,22 – 0,131; 0,078 0,108; 0,1 – 0,265; 0,068 – 0,15}= 0,911,

μQ2н,д,(а3)=1- max{0,065 - 0,219; 0,131 – 0,22;0; 0,104 0,21; 0,01 – 0,246; 0,059 – 0,145}= 1

μQ2н,д,(а4)=1- max{0,107 - 0,16; 0,108 – 0,078; 0,21 0,109;0;0,085 – 0,22; 0,075 – 0,08}= 0,899

 μQ2н,д,(а5)=1- max{0,172 – 0,09; 0,265 – 0,1; 0,246 0,01; 0,22 – 0,085; 0 ; 0,165 – 0,055}= 0,764

μQ2н,д,(а6)=1- max{0,08 – 0,108; 0,15 – 0,068; 0,145 0,059; 0,08 – 0,075; 0,055 - – 0,165; 0 }= 0,914

В результате получается: μQ2н,д,(ai)=(0,846 0,911 1 0,899 0,764 0,914)

Результирующее множество недоминируемых альтернатив есть пересечение множеств μQ1н,д, и μQ2н,д,:

μQ1н,д, Ç μQ2н,д,={(1 1 1 1 1 1) Ç (0,846 0,911 1 0,899 0,764 0,914)}= =(0,846 0,911 1 0,899 0,764 0,914)

Следовательно, рациональным следует считать выбор альтернативы a3, имеющей максимальную степень недоминируемости, равную 1.

Таким образом, с учетом всех перечисленных критериев и их относительной важности, наилучшим для фирмы, занимающейся реализацией компьютеров, будет выбор ноутбука модели FUJITSU–SIEMENS LIFEBOOK B.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены такие разделы дискретной математики как применение математической логики, теории графов и элементов теории нечётких множеств. Было рассмотрено на конкретных примерах, как алгоритмы дискретной математики применяются в сфере экономики, в частности, при решении проблемы выбора из нескольких альтернатив.

В первой части курсовой работы было рассмотрено применение методов дискретной математики и математического моделирования в экономике и математической логике, где рассматриваются логические операции и преобразование логических функций, приведение функций к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной форме, построение таблицы истинности, нахождение полинома Жегалкина для заданной функции и её производных по одной и двум переменным.

Во второй части на конкретных примерах рассматривается практическое применение теории графов в экономике. Были решены экономические задачи с использованием таких алгоритмов, как «жадный» (алгоритм Краскала) и алгоритма Дейкстры. Составлены математические модели данных алгоритмов. С помощью венгерского метода, было получено решение для задачи коммивояжера.

В третьей части решена задача, целью которой является выбор оптимальной альтернативы, из шести предложенных. Решение было получено посредством многокритериального выбора альтернатив на основе нечёткого отношения предпочтения. Данный способ весьма удобен для решения различных экономических задач. Для расчетов, в третьей части, использовался табличный редактор «Excel», в целях экономии времени, затрачиваемого на вычисления, а также для наибольшей точности расчетов.

Список использованных источников

1.  Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: Учеб. пособие / Под ред. В.А. Садовничего. 3-е изд.; стер. – М.: Высшая школа, 2001. – 384 с.

2.  Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб., Питер, 2002. 304 с.

3.  Матюхина Л.Я. Математическое моделирование в экономике: методические указания к курсовой работе. Хабаровск, 2002. 20 с.

4.  Белоусов А.И, Ткачев С.Б. Дискретная математика. М., Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2003, 631 с.

5.  Гаврилов С.П. Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1978

6.  Галкина В.А. Дискретная математика: комбинаторные методы оптимизации. М., Наука, 2003, 232с.

7.  Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики. М., Высшая школа, 2004, 128 с.

8.  Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

9.  Свами М.Н., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 455 с.