Курсовая работа: Метод Монте-Карло и его применение

Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда  усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату , , принимают

                                     ,                             (*)

где S – площадь области интегрирования; N число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить площадь S трудно, то в качестве е оценки можно принять ; в этом случае формула (*) имеет вид

                                      ,

где n – число испытаний.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования V принадлежит единичному кубу , , , принимают , где V объём области интегрирования, N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять , в этом случае формула (**) имеет вид , где n – число испытаний.

Задача: найти оценку определённого интеграла .

Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3, . Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка  , где возможные значения  разыгрывается по формуле .

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.

Случайные числа  взяты из таблицы приложения.

Таблица 1.

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	1,200 2,946 1,506 1,752 2,040 1,270 2,726 1,934 1,708 2,752	2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752

Из таблицы 1 находим . Искомая оценка

                            

§3. Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения».

В качестве оценки интеграла  принимают , где n число испытаний; f(x) плотность распределения «вспомогательной» случайной величины X, причём ;  - возможные значения X, которые разыгрывают по формуле .

Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношение  при различных значениях x изменялось незначительно. В частности, если , то получим оценку .

Задача. Найти оценку  интеграла .

Решение. Так как , то в качестве плотности распределения «вспомогательной» случайной величины X примем функцию . Из условия  найдём . Итак, .

Запишем искомый интеграл так:

                            .

Таким образом, интеграл I представлен в виде математического ожидания функции . В качестве искомой оценки примем выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):

                  ,  

где  - возможные значения X, которые надо разыграть по известной плотности . По правилу (для того, чтобы разыграть возможное значение  непрерывной случайной величины X, зная её плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число  и решить относительно  уравнение

                         , или уравнение , 

где a – наименьшее конечно возможное значение X), имеем . Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных значений X:

                                         .

В таблице 2 приведены результаты 10 испытаний.

Сложив числа последней строки таблицы 2, получим . Искомая оценка равна .

                                                                                           Таблица 2.

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	0,140 0,980 0,326 0,459 0,600 0,185 0,894 0,550 0,436 0,905	1,150 2,664 1,385 1,582 1,822 1,203 2,445 1,733 1,546 2,472	1,140 1,980 1,326 1,459 1,600 1,185 1,894 1,550 1,436 1,905	1,009 1,345 1,044 1,084 1,139 1,015 1,291 1,118 1,077 1,298

§4. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади.

Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина  распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием  и высотой . Тогда двумерная плотность вероятности  для точек, принадлежащих D;  вне D.

В качестве оценки интеграла  принимают , где n общее число случайных точек , принадлежащих D;  - число случайных точек, которые расположены под кривой .

Задача. Найти оценку  интеграла .

Решение. Используем формулу .

В интервале (0,2) подынтегральная функция  неотрицательна и ограничена, причём ; следовательно, можно принять c=4.

Введём в рассмотрение двумерную случайную величину (X,Y), распределённую равномерно в прямоугольнике D с основанием  и высотой с=4, плотность вероятности которой . 

Разыгрываем n=10 случайных точек , принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью  и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью , разыграем координаты случайной точки , принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел :  , .Отсюда , .

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474	0,200 0,506 1,040 1,726 0,708 1,618 1,822 1,084 0,112 0,948	0,040 0,256 1,082 2,979 0,501 2,618 3,320 1,175 0,013 0,899	3,960 3,744 2,918 1,021 3,499 1,382 0,680 2,825 3,987 3,101	0,973 0,376 ,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296	3,892 1,504 0,540 1,868 3,504 2,360 2,948 0,192 1,956 1,184	1 1 1 1 1 1

Если окажется, что , то точка  лежит под кривой  и в «счётчик » надо добавить единицу.

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 3.

Из таблицы 3 находим . Искомая оценка интеграла

                                

§5. Способ «выделения главной части».

В качестве оценки интеграла   принимают

                               ,

где  - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , которые разыгрывают по формуле ; функция , причём интеграл  можно вычислить обычными методами.

Задача. Найти оценку  интеграла .

Решение. Так как  , то примем . Тогда, полагая число испытаний n=10, имеем оценку

                           .

Выполнив элементарные преобразования, получим

                            .

Учитывая, что a=0, b=1, возможные значения  разыграем по формуле . Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	0,010 0,947 0,064 0,141 0,270 0,018 0,745 0,218 0,125 0,767	1,010 1,947 1,064 1,141 1,270 1,018 1,745 1,218 1,125 1,767	1,005 1,395 1,032 1,068 1,127 1,009 1,321 1,104 1,061 1,329	2,000 1,843 2,000 1,995 1,984 2,000 1,897 1,990 1,997 1,891

Сложив числа последнего столбца таблицы 4, найдём сумму 19,597, подставив которую в соотношение , получим искомую оценку интеграла

                  .

Заметим, что точное значение I=1,147.

§6. Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло.            

 Вычислить определенный интеграл по методу “Монте-Карло” по формуле

                                ,

где n – число испытаний ;g(x) – плотность распределения вспомогательной” случайной величины X, причем  , в программе g(x) = 1/(b-a)                                                                                                               

 Программа написана на языке TURBO PASCAL 7.0

Program pmk;

Uses crt;

Var k,p,s,g,x,Integral : real;

       n,i,a,b : integer;

BEGIN

 writeln(‘Введите промежуток интегрирования (a;b):’);

 readln(a);

 readln(b);

 writeln(‘Введите количество случайных значений(число испытаний):’);

 readln(n);

 k:=b-a; {Переменной“k”присвоим значение длины промежутка интегрирования}

 writeln(‘k=’,k);

for i:= 1 to n do begin {проведем n испытаний}

 g:=random; {g переменная вещественного типа, случайная величина из промежутка [0;1]}

 x:= a + g*(b-a);   {По этой формуле получается произвольная величина из [a; b] }

 s:=s + (1+x); {s:=s +(x*x)} {Вообще можно подставить любую функцию}

 delay(1000); {задержка, чтобы произвольные значения не повторялись}

end; {конец испытаний}

 writeln(‘s=’,s); {Сумма функции для n произвольных значений}

 Integral:=(1/n)*k*s ;

 writeln(‘Интеграл=’,Integral);

 readln;

END.

              Требуется ввести промежуток интегрирования и количество испытаний, интегрируемая функция уже задана в программе (но ее можно поменять).

;  .   

Функция	k	N=10	N=100	N=500	N=1000
f(x)=1+x	2	5.737	5.9702	6.02	5.99
f(x)=x*x	3	9.6775	8.528	8.7463	8.937

§7. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл

                             .                                             (1)

Геометрически число I представляет собой (m+1)-мерный объём прямого цилиндроида в пространстве , построенного на основании S и ограниченного сверху данной поверхностью , где .

Преобразуем интеграл (1) так, чтобы новая область интегрирования целиком содержалась внутри единичного m-мерного куба. Пусть область S расположена в m-мерном параллелепипеде

                          .                                          (2)

Сделаем замену переменных  .      (3)

Тогда, очевидно, m-мерный параллелепипед (2) преобразуется в m-мерный единичный куб                               (4)

и, следовательно, новая область интегрирования σ, которая находится по обычным правилам, будет целиком расположена внутри этого куба.

Вычисляя якобиан преобразования, будем иметь:

. Таким образом, ,                                            (5)

где . Введя обозначения  и , запишем интеграл (5) короче в следующем виде: .           (5/)

Укажем способ вычисления интеграла (5/) методом случайных испытаний.

Выбираем m равномерно распределённых на отрезке [0, 1] последовательностей случайных чисел:

                                              

Точки можно рассматривать как случайные. Выбрав достаточно большое N число точек , проверяем, какие из них принадлежат области σ  (первая категория) и какие не принадлежат ей (вторая категория). Пусть

1.  при i=1, 2, …, n                                                      (6)

2.  при i=n+1, n+2, ,N                                              (6/)

(для удобства мы здесь изменяем нумерацию точек).

Заметим, что относительно границы Г области σ следует заранее договориться, причисляются ли граничные точки или часть их к области σ, или не причисляются к ней. В общем случае при гладкой границе Г это не имеет существенного значения; в отдельных случаях нужно решать вопрос с учётом конкретной обстановки.

Взяв достаточно большое число n точек , приближённо можно положить: ; отсюда искомый интеграл выражается формулой , где под σ понимается m-мерный объём области интегрирования σ. Если вычисление объёма σ затруднительно, то можно принять: , отсюда . В частном случае, когда σ есть единичный куб, проверка становится излишней, то есть n=N и мы имеем просто .

Заключение.

Метод Монте-Карло используется очень часто, порой некритично и неэффективным образом. Он имеет некоторые очевидные преимущества:

          а) Он не требует никаких предложений о регулярности, за исключением квадратичной интегрируемости . Это может быть полезным, так как часто очень сложная функция, чьи свойства регулярности трудно установить.

         б) Он приводит к выполнимой процедуре даже в многомерном случае, когда численное интегрирование неприменимо, например, при числе измерений, большим 10.

        в) Его легко применять при малых ограничениях или без предварительного анализа задачи.

 Он обладает, однако, некоторыми недостатками, а именно:

        а) Границы ошибки не определены точно, но включают некую случайность. Это, однако, более психологическая, чем реальная, трудность.

        б) Статическая погрешность убывает медленно.

в) Необходимость иметь случайные числа.

Приложение.

Равномерно распределённые случайные числа

10 09 73 25 33     76 52 01 35 86     34 67 35 48 76     80 95 90 9117

37 54 20 48 05     64 89 47 42 96     24 80 52 40 37     20 63 61 04 02

08 42 26 89 53     19 64 50 93 03     23 20 90 25 60     15 95 33 47 64

99 01 90 25 29     09 37 67 07 15     38 31 13 11 65     88 67 67 43 97

12 80 79 99 70     80 15 73 61 47     64 03 23 66 53     98 95 11 68 77

66 06 57 47 17     34 07 27 68 50     36 69 73 61 70     65 81 33 98 85

31 06 01 08 05     45 57 18 24 06     35 30 34 26 14     86 79 90 74 39

85 26 97 76 02     02 05 16 56 92     68 66 57 48 18     73 05 38 52 47

63 57 33 21 35     05 32 54 70 48     90 55 35 75 48     28 46 82 87 09

73 79 64 57 53     03 52 96 47 78     35 80 83 42 82     60 93 52 03 44

Литература.

1.     Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш. школа, 1979г.

2.      Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971г.

3.     Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.:Наука,1982г.

4.     Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия,1999г. 

5.     Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.