Курсовая работа: Математична логіка
Курсовая работа: Математична логіка
Міністерство освіти і науки України
Херсонський державний університет
Факультет фізики, математики та інформатики
Методичне забезпечення розділу
“Математична логіка”
курсу дистанційного навчання дисципліни дискретна математика
Курсова робота
Науковий керівник
Доцент
Шишко Л.C.
Виконавець студент денної
Рибакін В.В.
форми навчання 421 групи
Херсон 2008
План
Вступ
Розділ І. Логіка висловлювань.
1.1. Основні поняття логіки висловлювань.
1.2. Закони логіки висловлювань.
1.3. Нормальні форми логіки висловлювань.
Розділ ІІ. Логіка предикатів.
2.1. Основні поняття логіки предикатів.
2.2. Закони логіки предикатів.
2.3. Випереджена нормальна форма логіки предикатів.
Література.
Вступ
Математична логіка займає одне з найважливіших місць у сучасній математичній науці. Вона знайшла широке застосування в найрізноманітніших галузях наукових досліджень. Математична логіка з великим успіхом використовується в теорії релейно-контактних схем і в теорії автоматів, тобто в кібернетиці, в лінгвістиці, в економічних дослідженнях, у фізіології мозку психології тощо.
Актуальність. Математична логіка дуже важлива для вчителів математики. Вона дає можливість краще зрозуміти структурно-логічну схему шкільного курсу математики, глибше вникнути в суть поняття доведення, з’ясувати зміст поняття логічного слідування, встановити зв’язки між різного роду теоремами тощо. З цих причин Я й обрав дану тему для написання курсової роботи. На мою думку ця тема є важливою в математиці. Тому що розвиток математично логіки як науки дав значний вплив у розвитку математичної науки. Значну внесок у розвиток математичної логіки зробили такі вчені як: Платон, Аристотель, Лейбніц, Буль, Гільберт.
Об’єктом дослідження є основні поняття математичної логіки.
Історично математична логіка будувалась як алгебраїчна теорія, у якій зв’язки між різними поняттями логіки виражалися за допомогою операцій. Така побудова математичної логіки згодом дістала назву алгебри висловлень алгебри предикатів, причому алгебра висловлень уходить як частина в алгебру предикатів. Вона називається також змістовною побудовою математичної логіки нею часто вичерпується виклад математичної логіки, причому апарату логіки предикатів достатньо, щоб ставити і розв’язувати досить важливі й складн задачі. Поряд з потребою змістовної побудови математичної логіки виникла потреба будувати математичну логіку як формально-аксіоматичну теорію, для яко алгебра предикатів є однією з можливих інтерпретацій.
У першому розділі розглянуто змістовні поняття й елементи логіки висловлень. Разом із цим, уже в першому розділу курсової роботи вводиться проблематика множин і логіки, яка істотно використовується в штучному інтелекті. А в другому розділі описано логіку предикатів.
Розділ І. Логіка висловлювань.
1.1. Основні поняття логіки висловлювань
Висловлюванням називають розповідне речення, про яке можна сказати, що воно або істинне, або фальшиве, але не одне й інше разом. Розділ логіки, що вивчає висловлювання та їхні властивості, називають пропозиційною логікою, або логікою висловлювань. Уперше систематичне викладення логіки було зроблене грецьким ученим Аристотелем понад 2300 років тому.
Приклад 1.1. Наведемо приклади речень.
1. Сніг білий.
2. Київ - столиця України.
3. х+1=3.
4. Котра година?
5. Читай уважно!
Два перших речення є висловлюваннями, останні три - ні. Трет речення набуває істинне або фальшиве значення залежно від значення змінної х, четверте та п'яте речення - не розповідні.
Значення "істина" або "фальш", які надан деякому висловлюванню, називають значенням істинності цього висловлювання. Значення "істина" позначають літерою Т (від англійського truth), а "фальш" - літерою F (від false). Для позначення висловлювань використовують малі латинські букви як з індексами, так і без них. Символи, що використовують для позначення висловлювань, називають атомарними формулами, або атомами.
Приклад 1.2.
1. р: "Сніг білий".
2. g: "Київ - столиця України".
Тут символи р, g атомарні формули.
Багато речень утворюють об'єднанням одного або декількох висловлювань. Отримане висловлювання називають складним висловлюванням. Його утворюють із наявних висловлювань застосуванням логічних зв'язок. Такі побудови вперше розглянуто 1845 р. у книзі англійського математика Д.Буля "The Laws of Truth".
Розглянемо питання побудови нових висловлювань з тих, що ми вже
маємо. Для цього в логіці висловлювань використовують п'ять логічних зв'язок:
заперечення (читають "не" та позначають "¬"), кон'юнкцію (читають
"і" та позначають "
"), диз'юнкцію (читають
"або" та позначають "
"), імплікацію
(читають "якщо..., то" та позначають "→") та еквівалентність
(читають "тоді й лише тоді" та позначають "~").
Приклад 1.3.
1. Сніг білий і небо теж біле.
2. Якщо хороша погода, то ми їдемо відпочивати.
У наведених прикладах логічні зв'язки - це "і" та "якщо..., то".
Приклад 1.4. Розглянемо прості висловлювання, які позначимо:
р: "Висока вологість", g: "Висока
температура", r: "Ми почуваємо себе добре". Тепер речення
"Якщо висока вологість та висока температура, то ми не почуваємо себе
добре" можна записати у вигляді складного висловлювання ((p
g)→(¬r)).
У логіці висловлювань атом p або складне висловлювання називають правильно побудованою формулою, або формулою. При вивченні формул розглядають х два аспекти — синтаксис та семантику.
Синтаксис - це сукупність правил, які дозволяють будувати формули та розпізнавати правильні формули серед послідовностей символів.
Формули у логіці висловлювань визначають за такими правилами:
1. Атом є формулою.
2. Якщо р формула, то (¬p) - теж формула.
3.
Якщо р та g - формули, то (р
g), (р
g), (р→g), (¬g) - формули.
4. Жодних інших формул, крім породжених застосуванням вказаних вище правил, немає.
Формули, так само як і атоми, позначають малими латинськими буквами з індексами або без них.
Приклад 1.5. Вирази (р→), (р
), (р¬), (
g) - не формули.
Якщо не виникає непорозумінь, то деякі пари круглих дужок можуть бути випущені.
Приклад 1.6. Вирази р
g, р→g є формулами (р
g) та (р→g), відповідно.
Семантика - це сукупність правил, які надають формулам значення стинності.
Нехай p та g — формули. Тоді значення істинності формул (¬p), (р
g), (р
g), (р→g) та (р~g) так пов'язан
зі значеннями істинності формул р та g.
1.
Формула (¬р) істинна, коли р фальшива, і фальшива, коли р істинна. Ї
читають "не р", або "це не так, що р" та називають запереченням р. Замість
(¬р) заперечення р позначають також 
. У такому разі знак
заперечення одночасно відіграє роль дужок.
2.
Формула (р
g) істинна, якщо р та g одночасно
стинні. У всіх інших випадках (р
д) фальшива. Формулу (р
g) читають "р
g" та
називають кон’юнкцією формул р та g.
3.
Формула (р
g) істинна, якщо істинна
принаймні одна з формул р або g. В іншому випадку (р
g) - фальшива. Формулу (р
g) читають "р
або g" та називають диз'юнкцією формул р та g.
4. Формула (р→g) фальшива, якщо р істинна, а g - фальшива. У всіх інших випадках (р→g) істинна. Формулу (р→g) читають "якщо р, то g", "з р виплива g", або "р лише, якщо g" та називають імплікацією. Тут атом р називають припущенням імплікації, а g - висновком імплікації.
5. Формула (р~g) істинна, якщо р та g мають однакові значення істинності. У всіх інших випадках (р~g) - фальшива. Формулу (р~g) читають "р тоді й лише тоді, коли g" або ″р еквівалентне g" та називають еквівалентністю формул р та g.
Семантику логічних зв'язок зручно задавати за допомогою таблиць, якими визначають значення істинності формул за значеннями істинності атомів у цих формулах. Такі таблиці називають таблицями істинності. Семантику введених логічних зв'язок у формі таблиць істинності надано у табл. 1.1.
Таблиця 1.1
| р | g | (¬p) |
(p |
(р |
(p→g) | (p~g) |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | T | T | F |
| F | F | T | F | F | T | T |
g)
g)Приклад 1.7. Знайдемо заперечення висловлювання "Сьогодн п'ятниця". Таке заперечення - "Це не так, що сьогодні п'ятниця". Це речення також можна сформулювати як "Сьогодні не п'ятниця" або "П'ятниця не сьогодні". Зауважимо, що речення, які пов'язані з часовою змінною, не є висловлюваннями доти, доки не визначений момент часу. Це ж стосується й змінних у реченнях, які характеризують місце або особу, до вказування відповідного місця або конкретної особи.
Приклад 1.8. Знайдемо кон'юнкцію висловлювань p та g, де р висловлюванням "Сьогодні п'ятниця", а g - висловлюванням "Сьогодні падає дощ". Кон'юнкцією цих висловлювань є висловлювання "Сьогодні п'ятниця і сьогодні падає дощ". Це висловлювання істинне у дощову п'ятницю і фальшиве не в п'ятницю або у не дощову п'ятницю.
Приклад 1.9. Що є диз'юнкцією висловлюваньg та p, які визначені у
прикладі 1.8? Диз'юнкцією висловлювань p та g, є висловлювання
p
g "Сьогодні п'ятниця
або падає дощ". Це висловлювання істинне в будь-яку п'ятницю або в дощовий
день. Дощова п'ятниця також долучається. Це висловлювання фальшиве тільки в
одному випадку - у не дощову п'ятницю.
Логічна зв'язка "диз'юнкція" відповідає одному з двох
способів уживання слова "або" в українській мові. Диз'юнкція істинна,
якщо істинне принаймні одне з двох висловлювань. Наприклад, її використовують у
реченні "Лекції з логіки можуть відвідувати студенти, які прослухали курси
математичного аналізу або дискретної математики". Зміст цього речення
полягає в тому, що лекції можуть відвідувати як студенти, які прослухали обидва
курси, так і ті студенти, які прослухали тільки один з цих курсів. Інший спосіб
використання диз'юнкції - це альтернативне "або". Для прикладу, така
диз'юнкція відповідає реченню "Лекції з логіки можуть
відвідувати студенти, які прослухали один з двох курсів — математичний аналіз
або дискретну математику". Зміст цього речення полягає в тому, що
студенти, які прослухали обидва ці курси, вже не повинні слухати лекцій з
логіки. Аналогічно, якщо в меню вказано "Закуску або салат подають з
першою стравою", то це майже завжди означає, що з першою стравою подадуть
або закуску, або салат, але не обидві страви. Тобто, це альтернативне, а не
звичайне "або", його позначають "
". Значення істинност
альтернативного "або" наведено у табл. 1.2.
Таблиця 1.2
| p | g |
p |
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
gІмплікацію, як логічну зв'язку, ще називають умовним реченням. Щоб зрозуміти значення істинності імплікації, треба розуміти її як зв'язок обов'язкового та очікуваного. Для цього розглянемо речення "Якщо ви виконаєте всі завдання, то отримаєте відмінну оцінку". Це означає, що якщо студенти виконали всі завдання, то вони отримають відмінну оцінку. Якщо ж студенти не виконали всіх завдань, то вони можуть отримати оцінку "відмінно", а можуть і не отримати її, залежно від інших обставин. Однак, якщо студенти зробили всі завдання, але викладач не поставив оцінку "відмінно", то студенти відчуватимуть себе ображеними. Останній випадок відповідає ситуації, коли p істинне, а g фальшиве в імплікації p→g , де p - припущення мплікації "Ви виконаєте всі завдання", а g - її висновок "Ви отримаєте відмінну оцінку".
Визначення імплікації дещо інше від розуміння її в природній мові, де її вживають для вказання причинно-наслідкового зв'язку. Для прикладу, речення "Якщо буде сонячно, то ми підемо на пляж" - умовне, яке вживають у звичайній мові. Це речення залишається істинним до того моменту, коли настане сонячний день, але ми не підемо на пляж. За означенням імплікац умовне речення "Якщо сьогодні п'ятниця, то 2+3=5" істинне, оскільки висновок істинний. При цьому значення істинності припущення імплікації тут не має відношення до висновку. Імплікація "Якщо сьогодні п'ятниця, то 2+3=6" істинна щодня, крім п'ятниці, хоча 2+3=6 фальшиве. Останні дв мплікації ми не вживаємо у природній мові (хіба що, як жарт), оскільки нема змістовного зв'язку між припущенням та висновком у кожному з наведених умовних речень.
Конструкція IF-THEN , яку використовують в алгоритмічних мовах, відрізняється від імплікації у логіці. В алгоритмічних мовах цю конструкцію використовують у вигляді "ІF р ТНЕN S ", де р висловлювання, а S - програмний сегмент, що складається з одного або багатьох операторів. Програмний сегмент S виконують, якщо р істинне, та не виконують, якщо p фальшиве.
Для знаходження значення істинності складного висловлювання потрібно надати значення істинності всім атомам, які містить формула. Надання значень істинності всім атомам формули називають нтерпретацією. У разі обчислення значень істинності формул, які зображають складні висловлювання, потрібно знаходити значення логічних зв'язок згідно з правилами, визначеними в табл. 1.1. Послідовність обчислень визначають парами дужок, які містить складне висловлювання. Якщо формула має n атомів, то існу 2n способів надати значення істинності її атомам, тобто така формула має 2n інтерпретацій, а всі її значення можна звести в таблицю істинності з 2n рядками. Формулу, яка містить n атомів, називають n-місною. У разі n=1 формула одномісна.
