Курсовая работа: Изгибаемые многогранники. Октаэдр Брикара. Флексор Штеффена
Рис.16 рис.17
Нарисуем на картоне фигуру, изображенную на рис. 16 и состоящую из шести треугольников. Буквы a, b, c и d обозначают длины соответствующих сторон. Хорошо подходят значения a = 12, b = 10, c =5 и d = 11. Вырежем нарисованную фигуру по сплошным линиям и согнем по штриховым. Два левых треугольника, имеющие стороны длины c отогнем из плоскости рисунка на себя и склеим между собой вдоль стороны длины c. Два правых треугольника со сторонами длины c отогнем из плоскости рисунка от себя и приклеим их друг к другу вдоль стороны длины c. В результате получится невыпуклая незамкнутая многогранная поверхность P, изображенная на рис. 17. Сплошными линиями на нем изображены видимые ребра многогранной поверхности P, штриховыми — ребра, заслоненные гранями поверхности P. Ребра AE, ED, DF и AF составляют границу P, к каждому из них прилегает лишь одна грань поверхности P.
Также можно легко сконструировать реберную модель октаэдра Брикара из тонких пластиковых трубочек для питья, нанизав их соответствующим образом на нитки
7 СВОЙСТВА ОКРАЭДРА БРИКАРА
Основные свойства
Многогранная поверхность называется октаэдром Брикара, если как и обычный октаэдр, она имеет 6 вершин (A, B, C, D, E и F), 12 ребер (AB, AD, AE, AF, BC, BE, BF, CD, CE, CF,DE и DF) и 8 граней (ABE, ABF, BCE, BCF, CDE, CDF,ADE и ADF). Вместе с тем октаэдр Брикара является невыпуклым, изгибаемым и имеет самопересечения.
Лемма 1. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD с равными противоположными сторонами AB = CD, AD=BC. Тогда у этого четырёхугольника есть ось симметрии, проходящая через середины диагоналей AC и BD, а в частном случае, когда четырёхугольник является параллелограммом, ось симметрии проходит через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости параллелограмма.
Рис.18
Эта лемма позволяет нам описать изгибаемый октаэдр Брикара первого типа. Рассмотрим четырёхзвенный механизм ABCD (т. е. четыре стержня, соединённые шарнирами и имеющие возможность вращаться вокруг них) и удовлетворяющий условиям леммы 1. Пусть l его ось симметрии. Пусть N — произвольная точка пространства, отличная от A, B, C, D и не лежащая на оси l (рис. 18, а и б изображают два разных вида четырёхугольника ABCD, дающих четырёхгранный угол NABCD без самопересечений и с самопересечениями, соответственно). Соединим N с вершинами четырёхзвенника ABCD и полученные «проволочные» треугольники NAB, NBC, NCD, NDA заклеим плоскими треугольниками (эта операция образно называется «обшивкой каркаса гранями»). Получится четырёхгранный угол с известными длинами рёбер. Этот четырёхгранный угол при фиксированных длинах рёбер может изгибаться, причём его нетривиальные изгибания определяются изменяющимся значением одного параметра — угла a = ZABC. Действительно, угол a определяет положение треугольника ABC на плоскости p, а знание расстояний от трёх точек A, B, C до N определяет положение N однозначно (на самом деле точка N может иметь два положения, симметричных относительно плоскости p, но мы рассматриваем только непрерывные изменения исходного положения точки N), а знание положения точек A, B, N и расстояний от них до D однозначно определяет непрерывные изменения положения точки D.
Изгибаемость
Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинка октаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотом вокруг оси, и, следовательно, ее деформация в точности повторяет деформацию первой половинки. Значит, и весь октаэдр Брикара изгибаем.
Рис.19
Очевидно, многогранная поверхность P является изгибаемой: если треугольник BCE фиксировать в пространстве, то точку F можно двигать так, как показано стрелками на рис. 19. При этом положение точек A и D в пространстве также будет меняться, но, что особенно важно, расстояние между точками A и D будет оставаться постоянным.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим двугранный угол S, одной гранью которого служит полуплоскость s1, проходящая через точку B и ограниченная прямой EF, проходящей через точки E и F, а другой гранью — полуплоскость s2, проходящая через точку C и ограниченная прямой EF. Повернем полуплоскость s1 вокруг прямой EF так, чтобы новая полуплоскость t1 проходила через точку A. В соответствии с рис. 18 для этого надо повернуть s1 "на себя" на величину двугранного угла тетраэдра ABEF при ребре EF. Аналогично повернем полуплоскость s2 вокруг прямой EF так, чтобы новая полуплоскость t2 проходила через точку D. Следуя рис. 19, для этого надо повернуть s2 "от себя" на величину двугранного угла тетраэдра CDEF при ребре EF. Однако при любом положении точки F тетраэдры ABEF и CDEF имеют соответственно равные стороны. Поэтому тетраэдры ABEF и CDEF равны, в частности равны между собой двугранные углы этих тетраэдров при ребре EF. Значит, двугранный угол T, образованный полуплоскостями t1 и t2, равен двугранному углу S. Таким образом, мы получаем, что в тетраэдрах BCEF и ADEF пять сторон попарно равны между собой (BE = AF, BF= AE, CF= DE, CE = DF и EF-общая сторона) и, кроме того, равны между собой двугранные углы T и S, противолежащие шестой стороне (то есть BC и AD соответственно). Следовательно, тетраэдры BCEF и ADEF равны между собой, а значит, AD = BC = d для любого положения вершины F, что и утверждалось выше.
Рис.20
Поскольку длина отрезка AD постоянна при всевозможных положениях вершины F, то к многогранной поверхности P можно приклеить два картонных треугольника ADE и ADF, причем получившаяся при этом поверхность Q будет по-прежнему изгибаемой. Это приклеивание, конечно, не может быть осуществлено реально: например, грани ADE и BCE при этом пересекутся по линии, не являющейся ребром многогранной поверхности Q; при изгибании поверхности Q эта линия будет менять свое положение на каждой из граней ADE и BCE, что не поддается изображению на картонной модели.
Идея Брикара очень остроумна. Возьмем в пространстве четырехугольник ABCD с попарно равными противоположными сторонами: АВ = CD, ВС = = AD. Если ABCD лежит в плоскости, то это - знакомый нам параллелограмм. Пусть ABCD - пространственный четырехугольник, т.е. вершины А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Его диагонали АС и BD лежат на скрещивающихся прямых. Проведем через середины О1 и О2 диагоналей прямую (рис. 20). Так как в четырехугольнике ABCD противоположные стороны равны, то прямая, как нетрудно показать, перпендикулярна обеим диагоналям.
В силу этой перпендикулярности при повороте вокруг прямой на 180° вершины A и С, а также В и D меняются местами и, следовательно, четырехугольник ABCD переходит в себя. Заметим, что в предельном случае, когда многоугольник становится плоским параллелограммом, точки О5 и О2 сливаются в одну точку, а прямая переходит в прямую, проходящую через точку пересечения диагоналей параллелограмма перпендикулярно его плоскости.
Симметрия
Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.
Рис.21
Возьмем вне прямой какую-нибудь точку S и построим четыре треугольника SAB, SBC, SCD и SDA (рис. 21 а). Эти треугольники (точнее, их плоскости) образуют четырехгранный угол. Из школьного курса геометрии известно, что плоские углы трехгранного угла задают его двугранные углы, а следовательно, и весь трехгранный угол однозначно. Однако если число граней у многогранного угла больше трех, то такой однозначности нет. Очевидно, что четырехгранный угол SABCD при фиксированных плоских углах допускает непрерывную деформацию (изгибание). При таком изгибании четырехугольник ABCD деформируется в четырехугольник с соответственно такими же сторонами и соответствующей осью симметрии.
При повороте вокруг оси на 180° четырехгранный угол SABCD переходит в конгруэнтный угол SXCDAB (рис. 21 б). Совокупность 8 треугольников удовлетворяет всем трем условиям в определении многогранника. Правда, некоторые грани этого многогранника пересекают друг друга.
Объем
При изгибании октаэдр Брикара не изменяет своего объема. Его можно вычислить с помощью теоремы Сабитова. Она устанавливает связь между длинами ребер многогранника и его объема. Существует многочлен:
коэффициенты a1,…,an которого выражаются при помощи четырех арифметических действий через длины ребер l1,…,lp многогранника. Сделав подстановку в формулу получим многочлен F(x) с конкретными числовыми коэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объем данного многогранника (октаэдра Брикара) есть один из корней этого многочлена.
7 ФЛЕКСОР ШТЕФФЕНА
Построение модели. Для построения модели флексора Штеффена необходимо изготовить из картона две многогранных поверхности Р1 и Р2, изображенных на рисунке 22 (их построение описано ранее).
рис. 22. Многогранная изгибаемая поверхность Р1
Далее следует нарисовать на картоне фигуру, изображенную на рис. 23, которая состоит из двух треугольников. Буквы a и e обозначают длины соответствующих сторон. К выбранному ранее значению a = 12 хорошо подходит
e = 17. Вырежьте нарисованную фигуру по сплошным линиям и согните по пунктирной. Получившуюся незамкнутую многогранную поверхность обозначим через R (рис. 23).
рис. 23. Многогранная изгибаемая поверхность R
Теперь все готово для склеивания многогранной поверхности Штеффена.
Зафиксируйте положение многогранной поверхности R в трехмерном пространстве так, чтобы расстояние между точками L и N было равно расстояние между точками A1 (D1) и C1 (C2).
Совместите точки K и E1, A1 и L, D1 и N и склейте многогранные поверхности P1 и R вдоль ребер A1E1 и KL, а также E1D1 и KN (рис. 24). Назовем полученную многогранную поверхность Q.
Аналогично совместите точки E2 и M, D2 и L, A2 и N и склейте многогранные поверхности P2 и Q вдоль ребер A2E2 и MN, а также D2E2 и LM (рис. 24).
рис. 24. Совмещение поверхностей Р1, Р2 и R
Свойства изгибаемость
Рис.25
Возьмём «зарубку Коннелли», изображённую на рис. 25.
Она представляет собой октаэдр Брикара второго типа с удалёнными гранями CDS и CDN. Е нетривиальные изгибания можно представить как вращение вершины N вокруг неподвижной прямой DC, при неподвижных отрезках SD и SC (так как расстояние DC постоянно как длина удалённого ребра изгибаемого октаэдра, три точки S, D, C можно считать неподвижными). При вращении N вершины A и B перемещаются соответственным образом. Для данного рисунка если N уходит влево (вправо), то A смещается вниз (вверх),
B уходит вверх (вниз), но вообще
направления их движений зависят от конкретных длин рёбер. Рассмотрим движения
точки N более подробно, для чего введём
следующую систему координат: направим ось Ox вдоль
прямой DC, от D к C, плоскость SDC примем за плоскость xOz, направив ось Oz вверх, начало координат поместим в
середине отрезка DC (см. рис. 25). Пусть длина ребра DC равна 2a,
длина SD=SC=b<a. Тогда D, C, S имеют, соответственно, координаты 
.
Точка N вращается вокруг оси Ox, на постоянном расстоянии d от D и C. Тогда её координаты суть
(0, d2-a2 sinj, d2-a2 cosj). (1)
Возьмём теперь второй экземпляр той же самой «зарубки Коннелли», идентичный рассмотренному. Расположим их сначала с полным совпадением. Если затем в первой «зарубке» точку N повернём влево, а во второй — вправо, то точки D, C, S останутся на месте, а точки N, A, B разойдутся, приняв соответственно новые положения N1, A1, B1 и N2, A2, B2.
Рис.26
Зафиксируем некоторые положения точек N1 и N2, симметричные относительно неподвижной плоскости DSC и склеим (отождествим) в этом положении рёбра SD и SC из первой «зарубки» с такими же рёбрами из второй «зарубки». Получится многогранник M, изображённый на рис. 26 и имеющий край N1DN2C.
Далее вершины N1 и N2 можно вращать согласованно так, чтобы расстояние N1N2 оставалось постоянным. Следовательно, отрезок N1N2 тогда можно принять за ребро и если мы закроем отверстие с краем N1DN2C двумя треугольниками N1DN2 и N1CN2, то полученный многогранник будет замкнутым, причём при соответственно подобранных размерах сторон и положениях вершин N1 и N2 он будет без самопересечений.
Симметрия
Заметим, что изгибаемый многогранник Штеффена обладает симметрией. Он симметричен относительно прямой, проходящей через точки F и середину ребра KM.
Объем
Сразу же после построения первых флексоров было замечено, что при изгибании их объёмы остаются постоянными.
Доказать постоянство объема флексора можно с помощью теоремы российского математика Иджада Хаковича Сабитова, предложенной в 1996 году.
Чтобы понять ее смысл, вспомним формулу Герона. Она выражает площадь треугольника лишь через его стороны:
, где полупериметр 
.
Предположим сначала, что все грани многогранника — треугольники[2]. В этом случае длины его ребер однозначно определяют форму треугольных граней. Поэтому, если многогранник выпуклый, то длины ребер однозначно определяют форму многогранника, так как по теореме Коши под многогранником понимается множество M плоских многоугольников - граней, расположенных в пространстве так, что каждая сторона любого из них является стороной в точности ещё одного многоугольника. А если у многогранника однозначно задана форма, следовательно, и его объем определен также однозначно.
Теорема Сабитова устанавливает связь между длинами ребер многогранника (с треугольными гранями) и его объемом. Пусть дан многогранник, тогда можно построить специальный многочлен
F(x) = хп + а1хп-1 +...+ ап,
коэффициенты а1,…,ап которого выражаются через длины ребер l1,…,lp многогранника. Заметим, что то, как коэффициенты многочлена выражаются через длины ребер, зависит собственно не от длин ребер и величин углов многогранника, а от его комбинаторного типа, т.е. от того, сколько ребер у граней, сколько граней у многогранника, как грани сходятся в вершинах и т.п. Подставляя теперь в коэффициенты а1,...,ап вместо l1,…,lp численные значения длин ребер данного многогранника, получим многочлен F(х) с конкретными числовыми коэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объем данного многогранника есть один из корней этого многочлена. Если бы объем флексора при изгибании менялся, то это должно было бы происходить непрерывно. А так как объем является корнем многочлена F(x), то это должен быть один и тот же корень. Таким образом, объем многогранника должен оставаться неизменным.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Трудно переоценить значение темы «Многогранники» не только в самой геометрии, но и других науках, в повседневной жизни. Без знания закономерностей, связанных с этими геометрическими телами, невозможно было бы дальнейшее изучение геометрии, развитие архитектуры, астрономии, физики.
В ходе выполнения работы, мы познакомились с происхождением терминов, связанных с многогранниками. Рассматривая уже знакомые свойства, изучали новые, ранее нам неизвестные, но весьма полезные при решении задач.
Наша работа носит исследовательский характер. Ее можно использовать в качестве дополнительного материала при изучении темы «Тетраэдр». Все изложенные факты иллюстрируются рисунками, чертежами, которые облегчают их понимание и запоминание.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вениниджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.
2. Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1.
3. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2: Стереометрия. М.: Учпедгиз, 1952.
4. Гуфт И.В. Об одном классе многогранников // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 1. С. 183-184.
5. Залгаллер В.А. Непрерывно изгибаемый многогранник //Квант. 1978. № 9. С. 13-19.
6. Сабитов И.Х. Локальная теория изгибания поверхностей // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 48. С. 196-270
7. Долбилин Н.П.. Жемчужины теории многогранников.
8. Сабитов И.Х.. Объёмы многогранников
9. Александров В.А. Изгибаемые многогранные поверхности
[1] От английского слова flex - изгибать
[2] То, что все грани треугольники, особого значения не имеет, так как любую нетреугольную грань можно разбить при помощи диагоналей на треугольники. Введенные диагонали считаются хотя и искусственными, но ребрами нового многогранника, у которого все грани треугольники.
