Курсовая работа: Дослідження властивостей лiнiйних динамічних кіл
Дійсна частина
КЧФ 
— дійсна АЧХ, а її уявна 
частина - уявна АЧХ.
Логарифмічна АЧХ, що виражається в неперах
,
або в децибелах
.
Розглянемо наше
коло та визначимо його частотні характеристики і вплив на них параметрів деяких
елементів кола, ґрунтуючись на комплексній частотній функції у вигляд
коефіцієнта передачі напруги 
.
Аналогічно до попереднього пункту знаходимо із урахуванням позначень для коефіцієнта згасання та частоти резонансу:
(2.2)
Знайдемо амплітудно-частотну характеристику кола (АЧХ) як модуль комплексної частотно функції, тому (із урахуванням числових значень параметрів елементів)
(2.3)
Фазо-частотна характеристика (ФЧХ) даного кола як аргумент визначеної комплексної частотно функції:
.(2.4)
Характеристику
групового часу запізнення 
отримаємо
як похідну по частоті з від’ємним знаком від фазо-частотної характеристики
(2.4):
(2.5)
Графіки АЧХ та ФЧХ на рис.2.1, рис.2.2 відповідно, а характеристик групового часу запізнення на рис.2.3. Значення частотних характеристик наведені у таблиці 2.1.
Таблиця 2.1 Значення АЧХ, ФЧХ та характеристики групового часу запізнення для різних значень частоти.
|
|
|
|
|
| 0 | 0 | 1.571 | 0 |
| 1 | 0.667 | 0.653 | 27.775 |
| 2 | 0.86 | 0.433 | 16.191 |
| 3 | 0.929 | 0.311 | 9.016 |
| 4 | 0.958 | 0.24 | 5.537 |
| 5 | 0.972 | 0.195 | 3.697 |
| 6 | 0.98 | 0.164 | 2.629 |
| 7 | 0.985 | 0.141 | 1.959 |
| 8 | 0.989 | 0.124 | 1.514 |
| 9 | 0.991 | 0.11 | 1.204 |
| 10 | 0.993 | 0.099 | 0.98 |
Рисунок 2.1 – Амплітудно-частотна характеристика
Рисунок 2.2– Фазо-частотна характеристика
Рисунок 2.3 – Характеристика групового часу запізнення
Амплітудно-фазова характеристика (частотний годограф). Ця характеристика містить в собі АЧХ та ФЧХ. За означенням, частотний годограф – це крива, яку описує кінець вектора, довжина якого дорівнює значенню АЧХ при визначеному значенні частоти ω, а кут нахилу до осі абсцис – значенню ФЧХ при тому ж значенні частоти.
Для побудови частотного годографа скористаємось алгебраїчним представленням комплексно частотної функції:
(2.6)
де А(ω) та В(ω) – відповідно дійсна та уявна частини КЧФ. На дійсній ос відкладаються значення А(ω), а на уявній осі комплексної площини значення В(ω) [2]. Графічне зображення КЧФ в координатах В та А на рис.2.4. Числові дані наведені у таблиці 2.2.
Таблиця 2.2 Дан для побудови частотного годографа.
|
|
|
|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0.53 | 40.51 |
| 2 | 0.781 | 36.068 |
| 3 | 0.884 | 28.408 |
| 4 | 0.93 | 22.771 |
| 5 | 0.954 | 18.819 |
| 6 | 0.967 | 15.97 |
| 7 | 0.976 | 13.842 |
| 8 | 0.981 | 12.2 |
| 9 | 0.985 | 10.9 |
| 10 | 0.988 | 9.845 |
|
|
1 | 0 |
Рисунок 2.4 – Частотний годограф
Визначимо логарифмічні частотні характеристики. Для аргументу (частоти) логарифмічною одиницею виберемо декаду, а для функцій (логарифмічних характеристик) децибел. За означенням ЛАЧХ та ХЗ визначаються відповідно як:
(2.7)
(2.8)
Для отримання табличних даних та для побудови графіка логарифмічної фазо-частотно характеристики (ЛФЧХ) скористаємось виразом для фазо-частотної характеристики. Графік цієї функції зобразимо на рисунку 2.6. Результати розрахунків наведені в таблиці 2.3. Графік логарифмічної АЧХ та характеристики затухання на рис 2.5.
Таблиця 2.3 Дан для побудови частотного годографа.
|
|
|
|
|
| 0 | -133.979 | 133.979 | 1.571 |
| 1 | -113.979 | 113.979 | 1.571 |
| 2 | -93.979 | 93.979 | 1.571 |
| 3 | -73.979 | 73.979 | 1.57 |
| 4 | -53.98 | 53.98 | 1.567 |
| 5 | -33.991 | 33.991 | 1.529 |
| 6 | -14.965 | 14.965 | 1.2 |
| 7 | -3.52 | 3.52 | 0.653 |
| 8 | -0.063 | 0.063 | 0.099 |
Рисунок 2.4 – Логарифмічна АЧХ(а) та характеристика затухання(б)
Рисунок 2.5 – Логарифмічна ФЧХ
Знайдемо граничн частоти умовної смуги пропускання на рівні 3дБ, а потім значення характеристики групового часу запізнення на цих частотах.
У нашому випадку йдеться про одну смугу пропускання та дві смуги затримки: одна в област нижніх, а друга в області верхніх частот. Визначимо максимальне значення АЧХ: Кu(ω)=1. Для знаходження граничних частоти необхідно розв’язати рівняння:
.
Звідси ωн.гр.= 1.136·1076 рад/с.
Таким чином
умовною смугою пропускання є діапазон [2.986·106;
]. Таким чином має місце
фільтр високих частот (ФВЧ).
Знаючи граничну частоту, визначимо характеристику групового часу затримки на рівні 3дБ: Ψ(ωн.гр.)= 2.651·10-8 с.
3. Дослідження залежності частотних характеристик АЧХ та ФЧХ від зміни параметрів навантаження R1 та елемента С1
Оцінимо вплив на АЧХ та ФЧХ елементів C1 та R1 кола. Спочатку зробимо якісне , а потім кількісне оцінювання.
Основу якісного аналізу складає схема кола без будь-яких розрахунків. Задане коло можна розглядати як розподілювач напруги з резистивним елементом R1 та гілкою, що складається з елементів C1, C1, R2 (гілка Г).
На нульовій частоті опір ємнісного елемента дорівнює нескінченності, отже ємнісні елементи C1 можна вважати розривом кола, на цих елементах падає вся вхідна напруга, а через навантаження R1 струм взагалі не протікає, тому на нульовій частоті АЧХ дорівнює нулю .
Опір ємнісних елементів зменшується за гіперболічним законом. На високій частоті елементи C1 можна вважати закоротками, отже весь вхідний струм портікає через резистивний елемент навантаження, АЧХ встановлюється на рівні що дорівнює значенню опору резистивного елемента навнтаження.
На малих частотах опори ємнісних елементів великими, тому на гілці Г падає вся вхідна напруга, з ростом частоти опір мнісного елемента С1 зменшується і через елемент навантаження R1 починає протікати струм, в результаті АЧХ зростає. На вищих частота опір ємнісних елементів зменшується, і опір гілки Г прямує до нуля, відповідно вся вхідна напруга падає на елементі R1 кола.
При збільшенні опору елемента навантаження R1 на ньому падає більша напруга, відповідно АЧХ досягає більших значень.
Різниця початкових фаз реакції і діючого сигналу буде переважно визначатися тільки властивостями гілки Г.
При збільшенні ємност елемента С1 його реактивний опір зменшується на нижчих частотах, тому більший струм починає протікати через елемент навантаження АЧХ досягає більших значень на нижчих частотах, зроста крутіше.
Відповідно до попереднього ФЧХ приймає тільки додатні значення (схема є резистивною на великих частотах).
Підтвердимо наш якісний аналіз кількісними розрахунками (таблиці 3.1 і 3.2, рис. 3.1-3.4).
Таблиця 3.1 Вплив елементу С1 на частотні характеристики.
|
|
С1=0.01 нФ |
С1=0.1 нФ |
С1=1 нФ |
|||
|
Kumin(ω) |
φmin(ω) |
Ku (ω) |
φC1(ω) |
Kumax(ω) |
φmax(ω) |
|
| рад/мкс | рад | рад | рад | |||
| 0 | 0.000 | 1.571 | 0.000 | 1.571 | 0.000 | 1.571 |
| 1 | 0.020 | 1.529 | 0.179 | 1.200 | 0.667 | 0.653 |
| 2 | 0.040 | 1.488 | 0.289 | 0.987 | 0.860 | 0.433 |
| 3 | 0.059 | 1.448 | 0.359 | 0.886 | 0.929 | 0.311 |
| 4 | 0.078 | 1.408 | 0.416 | 0.833 | 0.958 | 0.240 |
| 5 | 0.097 | 1.370 | 0.466 | 0.798 | 0.972 | 0.195 |
| 6 | 0.115 | 1.332 | 0.513 | 0.767 | 0.980 | 0.164 |
| 7 | 0.132 | 1.297 | 0.556 | 0.738 | 0.985 | 0.141 |
| 8 | 0.148 | 1.263 | 0.597 | 0.710 | 0.989 | 0.124 |
| 9 | 0.164 | 1.231 | 0.633 | 0.681 | 0.991 | 0.110 |
| 10 | 0.179 | 1.200 | 0.667 | 0.653 | 0.993 | 0.099 |
Рисунок 3.1. Залежність АЧХ від опору елемента R1.
Рисунок 3.2. Залежність ФЧХ від опору елемента R1.
Таблиця 3.2 Вплив елементу R1 на частотні характеристики.
|
|
R1=0.1 кОм |
R1=1 кОм |
R1=10 кОм |
|||
|
Кumin(ω) |
φmin(ω) |
Кu(ω) |
φ(ω) |
Кumax(ω) |
φmax(ω) |
|
| рад/мкс | рад | рад | рад | |||
| 0 | 0.000 | 1.571 | 0.000 | 1.571 | 0.000 | 1.571 |
| 1 | 0.019 | 1.358 | 0.179 | 1.200 | 0.820 | 0.442 |
| 2 | 0.033 | 1.235 | 0.289 | 0.987 | 0.886 | 0.259 |
| 3 | 0.043 | 1.192 | 0.359 | 0.886 | 0.911 | 0.198 |
| 4 | 0.052 | 1.188 | 0.416 | 0.833 | 0.929 | 0.166 |
| 5 | 0.061 | 1.199 | 0.466 | 0.798 | 0.942 | 0.145 |
| 6 | 0.069 | 1.215 | 0.513 | 0.767 | 0.953 | 0.129 |
| 7 | 0.078 | 1.230 | 0.556 | 0.738 | 0.962 | 0.117 |
| 8 | 0.087 | 1.243 | 0.597 | 0.710 | 0.968 | 0.106 |
| 9 | 0.096 | 1.253 | 0.633 | 0.681 | 0.973 | 0.097 |
| 10 | 0.105 | 1.261 | 0.667 | 0.653 | 0.977 | 0.089 |
Рисунок 3.3. Залежність АЧХ від ємності елемента С1.
Рисунок 3.4. Залежність ФЧХ від ємності елемента С1.
4. Обчислення спектру заданого сигналу та спектру реакції на цей сигнал
4.1 Розрахунок спектру сигналу по його часовому представленню
Для заданого вхідного сигналу рис. 4 виконаємо пряме перетворення Фур’є:
.
Тоді спектр вхідного сигналу визначається наступним чином:
Розкладемо одержаний вираз на дійсну та уявну частини використовуючи формулу Ейлера:
Враховуючи, що 
,
розраховано в першому пункті. Визначимо амплітудний 
та
фазовий 
спектр вхідного сигналу:
.
Значення цих функцій в залежності від частоти приведені в табл. 4.1, графіки, відповідно, на рис. 4.1 та рис. 4.2.
Таблиця 4.1
|
|
|
|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0.225 | 0.774 |
| 2 | 0.409 | -0.025 |
| 3 | 0.518 | -0.829 |
| 4 | 0.541 | 1.5 |
| 5 | 0.484 | 0.674 |
| 6 | 0.373 | -0.171 |
| 7 | 0.239 | -1.044 |
| 8 | 0.114 | 1.183 |
| 9 | 0.016 | 0.209 |
| 10 | 0.05 | -0.836 |
4.2 Розрахунок спектру реакції
Спектр вихідного сигналу 
знайдемо
за формулою:
де: 
- комплексна
частотна функція заданого кола, розрахована в пункті 1. Таким чином спектр
реакції:
де 
– фазо-частотна характеристика (ФЧХ)
даного кола як аргумент визначеної комплексної частотної функції.
Амплітудний спектр вихідного сигналу розраховуємо за формулою:
.
Частотний спектр вихідного сигналу розраховуємо за формулою:
.
Значення цих функцій в залежності від частоти приведені в табл. 4.2, графіки, відповідно, на рис. 4.3 та рис. 4.4.
Таблиця 4.2
|
|
|
|
| 0 | 0 | 1.571 |
| 1 | 1.504 | 1.427 |
| 2 | 3.517 | 0.408 |
| 3 | 4.812 | -0.518 |
| 4 | 5.18 | 1.74 |
| 5 | 4.709 | 0.869 |
| 6 | 3.657 | -0.07 |
| 7 | 2.357 | -0.903 |
| 8 | 1.123 | 1.306 |
| 9 | 0.158 | 0.319 |
| 10 | 0.492 | -0.737 |
Рисунок 4.3 Амплітудний спектр вихідного сигналу
Рисунок 4.4 Фазовий спектр вихідного сигналу
Висновки
В цій курсовій роботі ми дослідили вплив лінійного динамічного кола на сигнал довільної форми. Визначили реакцію кола на заданий сигнал методом інтеграла Дюамеля (згортки) та навели графічну та табличну інтерпретацію розрахунків.
В ході виконання роботи ми визначили характер даного кола, а також діапазон частот які воно відфільтровує.
За допомогою визначеної комплексної частотної функції були знайдені такі характеристики: АЧХ, ФЧХ, характеристика групового часу запізнення, логарифмічні АЧХ та ФЧХ характеристика затухання, побудовані їх графіки, наведені таблиці відповідних значень.
Ми також визначили, як змінюються амплітудо частотна та фазочастотна характеристики при зміні параметра елемента навантаження та додаткового елемента для дослідження частотних характеристик даного кола.
Для вхідного та вихідного сигналу побудували спектр амплітуд та спектр фаз. Для точного результату та для побудови графіків розрахунки проводили за допомогою математичного пакету програм Mathcad 2003.
Додаток
Завдання на курсову роботу
Таблиця 1 Параметри елементів кола
| R1, кОм | R2, кОм | C1, нФ |
| 1 | 4,3 | 0.1 |
Рисунок А.1 Схема електричного кола
Рисунок А.2 Графік вхідного сигналу
