Контрольная работа: Система линейных уравнений

2. k < n. Тогда из последнего уравнения системы (10), найдем неизвестную xk, выраженную через неизвестные хk+1, хk+2,... xn:

 

xk = (dkk – ck k+1xk+1 – … – cknxn)

 

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (10), найдем выражение для неизвестной хk-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных хk, хk-1,... x2 в первое уравнение системы (10), получим выражение для неизвестной x1. В результате указанная система уравнений (6) приводится к виду

x1 = d′1 + c′1 k+1xk+1 + …+ c′1nxn;

x2 = d′2 + c′2 k+1xk+1 + …+ c′2nxn; (11)

………………………………………

xk = d′k + c′k k+1 xk+1 + …+ cknxn.

Неизвестные хk+1, хk+2, …, хп называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (6) найти значения неизвестных х1, х2, …, хk. Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (6) имеет бесчисленное множество решений.

Заметим, что если в процессе приведения системы (6) к системе (11) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (11) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу, составленную из коэффициентов уравнений системы (6) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (6), соответствует преобразование над матрицей (12): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (12).

 

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;

3x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2;

2x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 9;

x1 + 3x2 – 3x3 – x4 = –1.

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

……………………

am1 am2 … amn

 

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a11 a12 … a1n b1

B = a21 a22 … a2n b2

……………………… …… (13)

am1 am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c1, c2,..., сп – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

 а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

. ……………………………………

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2,..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz,..., сп — решение системы уравнении (2), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn;

b2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn;

. …………………………………

bm = аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn

где c1, c2,..., сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x1 = c1,..., хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7;

2x1 + x2 – 4x3 – 2x4 = 1;

x1 – 3x2 + 6x3 – 5x4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

 a1x + b1y = c1,

a2x + b2y = c2. (13)

Основная матрица этой системы

 a1 b1

a2 b2

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a1 b1 с1

a2 b2 с2

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:

1.         Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a1, a2, b1, b2, c1, c2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).

2.         Если r = 0, R = 1, т.е. a1 = a2 = b1 = b2 = 0 и c + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений.

3.         Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть е решение.

4.         Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.

5.         Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

1.         Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2.

2.         Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

3.         Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a1x + b1y – c1 = 0,

a2x + b2y – c2 = 0, (14)

где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.

1.         Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

2.         Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

3.         Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

1.         Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

2.         Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

3.         Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0.

a2 b2 c2 b2 a2 c2

Эти условия можно переписать так:

a1b2 = b1a2, (15)

c1b2 = b1c2, (16)

a1c2 = c1a2. (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а1 = 0, то b1 ≠ 0, так как a1 + b1 ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а2 = 0, а так как a2 + b2 ≠ 0, то b2 ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c1/b1 = c2/b2 = α и при этом уравнения прямых примут вид

b1(y – α) = 0, b2(y – α) = 0. Поскольку b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b1 = 0, то а1 ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b2 = 0(причем

а2 ≠ 0). Тогда из (17) имеем c1/a1 = c2/a2 = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а1(x – β) = 0, а2(x – β) = 0. Поскольку

а1 ≠ 0, а2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а1 ≠ 0 и b1 ≠ 0, то из (15) вытекает, что а2/a1 = b2/b1 = γ, а из (16) и (17) вытекает, что с2 = b2c1/b1 = a2c1/a1. Т.е. получаем, что

а2 = γа1, b2 = γb1, c2 = γc1, и поэтому уравнения прямых примут вид

a1x + b1y – c1 = 0, γ(a1x + b1y c1)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Заключение

В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Список литературы

1.   А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко.

2.   Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер.

3.   Математический энциклопедический словарь.

4.   Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева.

5.   Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский