Контрольная работа: Моделирование макроэкономических процессов и систем

Задание 3

Первоначальный банковский вклад S0 размещен на n лет под р1% годовых с начислением процента m1 раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, если условия договора изменятся на р2% и m2 раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставку процента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.

Найти величину разового платежа для погашения долгосрочного кредита на сумму Sn, данного банком под р% на n лет.

Исходные данные:

S0 = 3500; n = 6; p1 = 16; m1 = 3; p2 = 14; m2 = 2; p = 25; Sn = 200000.

Решение:

Конечная сумма вклада

 

Эффективная ставка процента

 

Дисконт

 

Дисконт-фактор

 

а) =8917,70

 = 0.1687

 = 0.1379 %

 = 0.8621

б) = 7882,67

 = 0.1449

 = 0.1228 %

 = 0.8772

 

Сравнив полученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента и количества начислений в год – конечная сумма вклада увеличивается.

 

в)

= 127156,58

Задание 4

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).

Отрасли		потребление			Конечный продукт	Валовой выпуск
		Машиностроение	Металлургия	Энергетика
производство	Машиностроение	25	15	10	60	100
	Металлургия	10	15	20	120	200
	Энергетика	15	5	10	150	240

Решить задачу межотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось, второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.

С учетом изменений строим новый вектор конечного потребления:

Находим матрицу прямых затрат в условиях взаимодействия трех отраслей:

Т.к. aij  ≥ 0,  = 0.5 ≤ 1,  = 0.175 ≤ 1,  = 0.167 ≤ 1 –

матрица A продуктивна, следовательно, продуктивна и сама модель.

Находим матрицу  E-A, представляющую собой матрицу полных затрат, каждый элемент которой выражает стоимостные затраты той части валового выпуска которая необходима для выпуска единицы конечного продукта.

Определитель матрицы:

Вычислим матрицу C составленную из алгебраических дополнений матрицы  E-A:

И транспонируем ее:

Находим новый вектор валового выпуска продукции тремя отраслями:

 

 

Чтобы машиностроение дало 60 у.д.е., металлургия 120 у.д.е., энергетика 150 у.д.е. конечного продукта идущего на непроизводственное потребление необходимо обеспечить следующие объемы валового выпуска отраслей: Машиностроение - 109,772 у.д.е.

Металлургия 212,934 у.д.е.

Энергетика 140,269 у.д.е.

Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса

Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

В этой модели предполагается, что ВВП  в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (C) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года:

При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению

где  - минимальный объем фонда потребления;

 – склонность к потреблению.

Соотношение, действующее при дискретности времени в один год, при дискретности Δt примет форму:

где (1 – с) – склонность к накоплению. 

При t → 0 приходим к уравнению инертного звена (роль постоянной времени выполняет величина , обратная склонности к накоплению):

Последнее уравнение имеет равновесное (стационарное) решение

Если в начальный момент спрос на инвестиционные товары изменился с величины I0 до I (I > I0), то в экономике будет происходить переходный процесс от значения ВВП

 

до значения yE (см. рис.1). При этом

.

Нелинейная динамическая модель Кейнса

Рассмотрим нелинейную модель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:

т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае

 

Поскольку y(y>0) – ВВП, а x=I(I>0) – инвестиции, то из экономических соображений следует, что

т.е с увеличением ВВП скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций – возрастает.

Пусть при t=0 инвестиции были равны I0 и система находилась в некотором равновесном состоянии (y0,I0), первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции I0 считаются известными)

При увеличении инвестиций с I0 до I=I0+ΔI (ΔI>0) система будет удовлетворять уравнению

Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:

Переменная часть η(t) удовлетворяет уравнению

Если приращение инвестиций ΔI сравнительно мало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть η(t) также сравнительно мала. Поэтому правую часть можно разложить в окрестности точки (y0,I0) в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:

После перенесения члена, содержащего η, в левую часть и деления обеих частей на

 

получаем уравнение инерционного звена:

где

 – обобщенная предельная склонность к сбережению в начальном состоянии;

Из вышеописанного вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:

а ВВП в целом будет изменяться как функция

При этом новое равновесное состояние ВВП

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Как можно было заключить из вышеизложенного,  математические методы имеют большую степень универсальности. Основой  этой  универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же  проблеме  совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык  сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать  уже  практически готовое решение, полученное ранее где-то в  другой  отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.

Литература

1.       Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2005. 368 с.

2.       Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006 287 с.

3.       Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономических процессов и систем. М.: ЮНИТИ, 2005 295 с.

4.       Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2005. 399 с.

5.       Найденков В.И. Прогнозирование и моделирование национальной экономики: Конспект лекций. М.: ПРИОР, 2004. 156 с.

6.       Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А., Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ, 2004. 302 с.

7.       Просветов Г.И. Математические модели в экономике. Спб.: РДЛ, 2006. 151 с.

8.       Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2005 391 с.

9.       Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Спб.: Волтерс Клувер, 2005. 132 с.

10.  Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2005. 286 с.