Быстрый поиск

Контрольная работа: Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»

Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»

Расчётно–графическое задание

по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»

Харьков 2005

Исходные данные:

Вариант №	y0	y1	y2	y3	y4	y5	h	x0
64	-0.02	0.604	0.292	-0.512	-1.284	-2.04	0.5	0.3

Задача 1

Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, , yn) по рекуррентным формулам:

Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:

с := 0; i := 0;

while i < n + 1 do c := c + xi · yi;

и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.

Решение

Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то

x0 = x0(1+δ)

y0 = y0(1+δ)

C0 = x0y0(1+δ)

При i = 1

При i = 2

x2 = x03(1+δ)5

y2 = y0(1+δ)3

C2 = x0y0(1+δ)5 + x02(1+δ)7 + x03y0(1+δ)10

При i = 3

x3 = x04(1+δ)7

y3 = (1+δ)5

C3 = x0y0(1+δ)6 + x02(1+δ)8 + x03y0(1+δ)11 + x04(1+δ)14

При i = 4

x4 = x05(1+δ)9

y4 = y0(1+δ)7

C4 = x0y0(1+δ)7 + x02(1+δ)9 + x03y0(1+δ)12 + x04(1+δ)15 + x05y0(1+δ)18

Выявим закономерность изменения Ci:

При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим

Обозначим эту сумму как S1.

Тогда абсолютная погрешность S2

а относительная погрешность

Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10

S1 = 0.0923071

S2 = 1.45914·10-6

S3 = 1.58075·10-5

Задача 2

Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.

Решение

Составим таблицу всех повторных разностей:

k	x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y
0	0.3	0.02	-1.576	0.044	-0.136	0.66	-0.54
1	1.1	-1.556	-1.532	-0.092	0.524	0.12	—
2	1.9	-3.088	-1.624	0.432	0.644	—	—
3	2.7	-4.712	-1.192	1.076	—	—	—
4	3.5	-5.904	-0.116	—	—	—	—
5	4.3	-6.02	—	—	—	—	—

Найдем формулу перехода от x к k:

Выполним проверку, вычислив аналитически конечную разность

Δng(x)= ΔnG(k) для n = 5:

Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.

Задача 3

Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).

Решение

Представим функцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):

Выполним проверку при k = 1:

0.604=0.604

Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:

Проверим вычисления при x = 0.8:

0.6045128 ≈ 0.604

Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.

Задача 4

Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).

Решение.

Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:

где

Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:

-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96

- 2.96 = - 2.96

Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.

Задача 5

Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0; x1; x2; x3] по формуле ее аналитического представления.

Решение

Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):

xi	g(xi)	[xi; xi+1]	[xi; xi+1; xi+2]	[xi; xi+1; xi+2; xi+3]	[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]	[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5]
0.3	-0.02	1.248	-1.872	0.592	0.0533333	-0.1567999
0.8	0.604	-0.624	-0.984	0.6986666	-0.3386666	—
1.3	0.292	-1.608	0.064	-0.0213333	—	—
1.8	-0.512	-1.544	0.032	—	—	—
2.3	-1.284	-1.512	—	—	—	—
2.8	-2.04	—	—	—	—	—

Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:

Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.

Задача 6

Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.

Решение

Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу

где n = 3.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1=0.604

Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:

ln(x) = g0 + (x-x0)[x0;x1] + (x-x0)(x-x1)[x0;x1;x2] + … +

+(x-x0)(x-x1)∙ ∙(x-xn-1)[x0;x1;x2;…;xn]

Подставив в формулу gi и xi получим:

Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y1=0.604

Задача 7.

Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x3 в виде функций:

где ∆ng(0) и g(xn) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x0 и ординаты g(xn) = gn из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):