Доклад: Сущность франчайзинга
Так как целевая функция в (7) является в реальности вогнутой, то оптимальное значение коэффициента роялти r* находится из уравнения
(9) x'(r) – k'(r) – c'(r) = 0
Функция T(L), а, значит, и целевая функция в (8), определена лишь на дискретном множестве значений L, причем T(L) ¹ 0 только на ограниченном множестве. Поэтому минимум функции (8) находится на этом ограниченном множестве подстановкой.
Для найденных оптимальных значений коэффициента роялти r* и срока контракта L* вычисляем по формуле (5) или (5') оптимальный вступительный взнос
F* = F(r*, L*).
В подавляющем большинстве случаев проводить исследования рынка и решать задачу оптимизации для каждой территории, на которую предоставляется франшиза, слишком дорого. Но использование контрактов с одинаковыми параметрами тоже неэффективно, так как не учитываются существенные особенности, в том числе и размер территории.
Чтобы избежать произвола, злоупотреблений и неопределенности при определении параметров конкретного договора, необходимо выработать четкие критерии их назначения. Формулы, по которым вычисляются эти параметры, должны содержать общедоступные статистические данные и стандартные для данной компании константы. Желательно, чтобы смысл этих формул был понятен потенциальным франчайзи.
Необходимо провести исследование рынка на какой-то достаточно типичной территории и, решив оптимизационную задачу, установить для нее наилучшие значения выпуска франчайзи Q0, срока контракта L0, вступительного взноса F0 и коэффициента роялти r0.
Тогда параметры контракта для произвольной территории рассчитываются следующим образом.
Длительность контракта принимается та же, так как можно приблизительно считать, что все слагаемые в целевой функции, при максимизации которой определяется оптимальный срок, возрастают пропорционально емкости территориального рынка, что не влияет на L*, поэтому
(10) L* = L0
Величина наилучшего выпуска Q* считается пропорциональной емкости рынка V, которая вычисляется по формуле
V =
b
где b — коэффициент пропорциональности, mi — относительная склонность (в расчете на человека) i-ой категории потребителей к покупке данного товара (услуги). Например, туристы, как правило, не покупают жалюзи, зато они потребляют относительно много fast food в расчете на одного человека. Удобно выделить следующие категории потребителей: местное население, туристы и люди, приезжающие на данную территорию на работу. Коэффициенты mi считаются едиными для всей франшизы. Yi и Ni — среднедушевой доход и общая численность потребителей i-ой категории соответственно, которые берутся из общедоступных статистических данных. Значит,
(11)
где Yi0 и Ni0 — среднедушевой доход и общая численность потребителей i-ой категории на базовой территории.
Вступительный взнос считается пропорциональным оптимальному выпуску:
(12)
Так как роялти рассчитывается как процент от оборота, то коэффициент r должен быть единым для всей сети. Но франчайзи часто сообщают преуменьшенные данные о своих доходах, чтобы снизить платежи франчайзеру, а прямые проверки слишком дороги. Поэтому франчайзеру имеет смысл подтолкнуть франчайзи к декларированию истинных объемов производства (продаж) с помощью договора, предусмотрев увеличение коэффициента роялти при сообщении об уровне доходов, меньшем оптимального, то есть
(13)
где a > 1 является общим для всей франчайзинговой сети.
Пусть e — средняя относительная величина обманов, выявленных при предыдущих проверках в системе. Тогда имеет смысл определить a из условия a (1 – e) = 1, то есть сделать традиционный обман невыгодным, а обман в более крупных размерах будет слишком очевидным для франчайзера, и он, наверняка, устроит в такой точке проверку.
СТРАТЕГИЯ РАЗВИТИЯ ФРАНЧАЙЗИНГОВОЙ СИСТЕМЫ
После определения оптимальных параметров функционирования отдельных франчайзинговых предприятий можно перейти к рассмотрению франчайзинговой системы в целом.
Предположим, что весь рынок разбит на N территориальных участков, на каждом из которых может работать не более одного предприятия (собственного или франчайзингового) данной системы. Icn(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент времени t на n-ом участке функционирует собственное предприятие франчайзера, в других случаях эта функция равна нулю; IФn(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент t на n-ом участке работает франчайзинговое предприятие этой системы, иначе она равна нулю.
Пусть pСn(t) и pФn(t) — оптимальные размеры прибыли, которую может получить на n-ом участке в момент t собственное предприятие, и дохода франчайзингового предприятия соответственно, а r — оптимальное роялти. Эти величины определяются способами, описанными в предыдущих разделах.
Функции a(t) и w(t) определяют расходы на рекламу и исследования.
L(t) долг франчайзера, r1 — процент по нему; D(t) — ликвидные средства франчайзера, а g — их доходность.
Пусть r(t) и q(t) — вероятности проверок и обмана соответственно, H1 и H2 — средние величины обмана и штрафа за вскрытый факт обмана; M — средняя стоимость мониторинга одной точки.
Параметры r1, g, H1, H2 и M определяются вне модели.
Тогда, считая время дискретным, прибыль франчайзера в период t
(1)
где
, функция Q(At,Wt)
отражает влияние рекламы и исследований на размер прибыли элементов сети, а pTr — прибыль от изменения структуры франчайзинговой
системы
(2)
где Zn и En — невозвращаемые затраты при создании собственного и франчайзингового (с учетом вступительного взноса) предприятия, определяемые вне модели, Psn(t), PBn(t) — прибыль от продажи, покупки предприятия, а Sn, Bn, Ncn, Nфn, Lcn, Lфn индикаторные функции, равные либо нулю, либо единице, отражающие продажу собственной точки во франчайзинг, выкуп франчайзы, создание новой собственной и франчайзинговой точек, ликвидацию собственной и франчайзинговой точек на n-ом участке. Так как цена предприятия равна сумме прибыли, которую может получить франчайзи за оставшееся время, и ликвидационной стоимости, то прибыль франчайзера от сделок (T — горизонт планирования)
(3)
Индикаторные функции выражаются из системы
(4)
Частота проверок, проводимых франчайзером, определяется из условия
up = r (qH2 – M) – (1 –r) qH1 ® max,r
а вероятность обмана франчайзи из условия
ua = – rqH2 + (1 – r) qH1 ® max . q
Равновесие в этой игре достигается при
Интересно, что вероятность проверки r зависит только от отношения штрафа к величине обнаруженного проверкой обмана, которое определяется во франчайзинговом договоре, и не зависит от средней величины обманов. Предположим, что в договоре это отношение равно единице, тогда в (1) выражение в скобках во второй сумме равно up = –M/2. Тогда выражение (1) примет вид
(5)
Если D(t) – разность между получаемыми кредитами и возвратом долга, то задолженность изменяется по закону:
(6) L(t) = (1 + r1) L(t-1) + D(t).
Считая, что франчайзер не дает деньги в долг, добавляем условие
(7) L ³ 0.
Баланс денежных потоков имеет следующий вид:
(8)
где XCn(t) и Cn(t) — доход и затраты собственного предприятия франчайзера, вычисляемые из приведенной в предыдущем разделе задачи оптимизации для конкретной собственной точки, а PLn — ликвидационная стоимость предприятия в конечный момент времени T.
Собственный капитал франчайзера
(9)
K(t)=K(0)+
.
Возможные планы франчайзера ограничиваются требованиями ликвидности и достаточности собственного капитала
(10)
,
где kl » 0,2 — нормативный коэффициент ликвидности, а ka » 0,6 — нормативный коэффициент автономии.
Франчайзер решает задачу максимизации своей прибыли, то есть, фактически, задачу:
(11) K(Y, T) ® max ,Y
где Y — набор переменных задачи (2) – (11), определяющий возможную стратегию развития франчайзинговой системы. Y*(T) = arg max K(Y, T) — оптимальная стратегия.
Из условий (2) – (9) все переменные, определяющие собственный капитал франчайзера в конечный момент времени, выражаются через Icn(t), Iфn(t), L(t), D(t), a(t) и w(t), где t = 1,...,T, и задача (11) решается при условиях (7), (10) и
(12) Icn(t) Iфn(t) = 0,
то есть невозможно существование на одном участке в один момент времени и собственного и франчайзингового предприятий.
В предположении, что франчайзер берет максимально возможный кредит и держит допустимый минимум ликвидных средств, так как у них низкая доходность, неравенства (10) заменяются на равенства, из которых находятся L(t) и D(t), и условие (7) неотрицательности L(t) опускается. При этом набор переменных, определяющих стратегию, уменьшается до Y‘ = { Icn(t), Iфn(t), a(t), w(t)}.
Но даже в этом случае из-за большой размерности задачи и сложности выражения некоторых переменных через основные задача остается слишком сложной, и такая модель позволяет только проиллюстрировать механизм функционирования франчайзинговой системы, поэтому ниже для конкретных расчетов производятся дальнейшие упрощения.
Например, при определении оптимальных рекламных затрат можно решать следующую задачу. Пусть x(t) — прибыль без учета расходов на рекламу, u(t) — затраты на рекламу (u(t) ³ 0 — управление в рассматриваемой задаче). Тогда прибыль p(t) = x(t) – u(t). Так как x(t) — это прибыль получаемая в момент t в отсутствие рекламы, то, зная поток прибыли в начальный момент без использования рекламы p0, можно получить начальное значение x(0) = p0.
В качестве критерия разумно взять дисконтированную прибыль за весь период планирования T, то есть
(13)
,
где n — коэффициент дисконтирования.
Предположим, что без рекламы поток прибыли экспоненциально уменьшается с коэффициентом затухания k. Так как предельный эффект от рекламы падает при увеличении затрат на нее, то эту зависимость можно аппроксимировать, например, степенной функцией bua (0 < a < 1). Коэффициенты b и a определяются по методу наименьших квадратов для имеющихся эмпирических данных или оцениваются экспертами. Следовательно, получаем соотношение
(14)
.
Гамильтониан задачи (13), (14)
H(x,u,p,t) = (x-u)e–nt + p(bua – kx).
Из уравнений Гамильтона получаем:
.
Решая это уравнение с учетом условия p(T) = 0, находим
(15) p(t) = [e–nt – e–k(T-t)+kt] / (k + n) .
По принципу максимума Понтрягина u(t) должна в каждой точке оптимальной траектории доставлять максимум функции Гамильтона, поэтому оптимальное управление находится из условия
– e nt + apbua–1 = 0,
то есть
.
Используя формулу (15), получаем, что оптимальные затраты на рекламу равны
.
Видно, что затраты на рекламу со временем уменьшаются, обращаясь в нуль в конце периода планирования.
На рекламные расходы разумно наложить условие u(t) £ umax(t), связанное с ограниченностью финансовых ресурсов. Тогда реальные затраты на рекламу будут определяться по правилу
uопт(t) = min{u*(t), umax(t)}.
В предельном случае, если планирование осуществляется на очень длительный период (при этом можно считать
T =
¥), uопт(t) º 
.
В этом случае
xопт(t)
º
.
На бесконечности доля рекламных затрат в чистом доходе
.
Аналогичный подход применим при планировании затрат франчайзера на исследования.
Далее, определившись с расходами на рекламу и исследования, франчайзер вырабатывает стратегию расширения сети.
Предположим, что рынок может быть разделен между собственными и франчайзинговыми предприятиями рассматриваемой системы в любой пропорции, а время t непрерывно.
Пусть Pc(t) ³ 0 и PФ(t) ³ 0 — доля рынка, охваченная собственными и франчайзинговыми предприятиями, причем выполняется условие PC(t) + PФ(t) £ 1.
Здесь под охватом рынка подразумеваем территориальный охват.
Франчайзер максимизирует свою прибыль:
,
где Y(t) — поток его прибыли. Будем считать здесь, что прибыль от собственной и доход франчайзинговой единицы не зависят от времени и равны pс и pф соответственно.
Для простоты положим, что ликвидные средства франчайзера D(t) не приносят дохода.
Поток инвестиций франчайзера в развитие сети
(16)
,
где Z и E определяются вне модели, а в E учитывается оптимальный вступительный взнос, рассчитанный для случая одного франчайзингового предприятия. Будем считать, что франчайзер может, в принципе, ликвидировать предприятия сети, вернув без потерь свои инвестиции, поэтому при расчете прибыли не будет вычитать инвестиции на развитие сети из дохода.
Прибыль франчайзера
(17) Y(t) = pсPc(t) + rpф Pф(t) – r1L(t).
Прибыль, полученная от деятельности собственных и франчайзинговых предприятий системы, и новые кредиты идут на инвестиции и изменение объема ликвидных средств
(18)
+D(t).
Задолженность изменяется по закону
(19)
.
Предположим, что доходность собственных и франчайзинговых точек больше, чем процент по кредиту, то есть pс/Z > r1 и rpф/E > r1, поэтому на этапе экстенсивного развития системы франчайзер берет максимальный для имеющихся собственных средств кредит и выбирает минимальный D(t), необходимый для поддержания ликвидности, то есть
(20) D(t) = kl L(t),
K(t) = kaL(t)/(1 – ka),
, то
(21)
.
Обозначив
a = 1 – kl + ka /(1 – ka) и b = ka /(1 ka),
из условий (16) – (21) получаем, что рассматриваемая задача с учетом начальных условий имеет вид (9) – (12):
(22)
,
(23)
(24) Pc(t) ³ 0, PФ(t) ³ 0, PC(t) + PФ(t) £ 1, L ³ 0,
(25) Pc (0) = Pc0, Pф(0) = Pф0, L(0) = K0 / b.
Из второго уравнения системы (23) с учетом начальных условий получаем имеем следующее выражение для величины задолженности:
(26)
.
Используя эту формулу и первое уравнение системы (10) получаем:
(27) pT = b[L(T) – L(0)] = b{Z[Pc(T) – Pc0] + E[Pф(T) – Pф0]}/ a.
Таким образом, задача преобразовывается к виду (28) – (31):
(30)
Pc(t) ³ 0, PФ(t) ³ 0, PC(t) + PФ(t) £ 1,
(31) Pc (0) = Pc0, Pф(0) = Pф0.
Эволюция франчайзинговой системы состоит из следующих основных этапов:
1. Расширение системы без использования франчайзинга.
На начальной стадии развития компания не может создать эффективную франчайзинговую сеть из-за своей малой известности. Пусть Pcf — доля территории рынка, охваченная предприятиями компании – потенциального франчайзера, обеспечивающая ему достаточную известность и репутацию для начала продажи франшиз (Pcf < 1). Тогда условиями нахождения компании на первом этапе будут:
