Дипломная работа: Повышение вычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике
Числа | Квадраты чисел | |
целые | нечетные | |
1 | 3 | 1 |
2 | 5 | 4 |
3 | 7 | 9 |
4 | 9 | 16 |
5 | 11 | 25 |
6 | 13 | 36 |
7 | 15 | 49 |
8 | 17 | 64 |
9 | 19 | 81 |
10 | 21 | 100 |
11 | 23 | 121 |
12 | 25 | 144 |
13 | 27 | 169 |
14 | 29 | 196 |
15 | 31 | 225 |
16 | 33 | 256 |
17 | 35 | 289 |
18 | 37 | 324 |
19 | 39 | 361 |
20 | 41 | 400 |
21 | 43 | 441 |
22 | 45 | 484 |
23 | 47 | 529 |
24 | 49 | 576 |
25 | 51 | 625 |
Числа | Квадраты чисел |
1 | 1 |
2 | 4 |
3 | 9 |
4 | 16 |
5 | 25 |
6 | 36 |
7 | 49 |
8 | 64 |
9 | 81 |
10 | 100 |
11 | 121 |
12 | 144 |
13 | 169 |
14 | 196 |
15 | 225 |
16 | 256 |
17 | 289 |
18 | 324 |
19 | 361 |
20 | 400 |
21 | 441 |
22 | 484 |
23 | 529 |
24 | 576 |
25 | 625 |
в) Третий способ составления таблицы квадратов чисел.
Квадраты чисел от 1 до 10 включительно определяем по таблице умножения: в первой колонке пишем числа, во второй – их квадраты. Чтобы получить квадрат следующего числа, к квадрату данного числа прибавляем сумму данного числа и следующего числа. Рассмотрим на числовых примерах.
1) квадрат числа 11 равен 100 + (10+ 11)= 121;
2) квадрат числа 12 равен 121 + (11 + 12) = 144 и т.д.
Объяснение этого способа нахождения квадрата числа следующее:
(k + 1)2 = k2 + 2k • 1 + 12 = k2 + [k + (k + 1)].
3) 752
= 5625. 762 = (75 +1)2 = 752 + [75 + (75 + 1)]
= 752 +
+ (75 + 76) = 5625 + 151 = 5776. Получаем 762 = 5776.
2. Возведение в квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения.
а) Вычисления по формуле .
.
б) Вычисления по формуле .
.
в) Особенно полезным оказывается применение в устных вычислениях формулы .
1) .
2) .
3. Устное возведение в квадрат смешанных чисел. Случаи возведения в степень смешанного числа по формулам сокращенного умножения.
а) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью , достаточно умножить целую часть числа на число, единицей большее, и к произведению приписать .
Дано: число k + , где k – целое. Доказать: (k + )2 = k (k + 1) + .
Доказательство: (k + )2 = k2 + 2 • k • + = k2 + k + = k (k + 1) + .
б) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью , достаточно возвести в квадрат целую часть этого числа, затем прибавить ее половину и, наконец, к полученной сумме прибавить , если целая часть – четное число. Если же целая часть – нечетное число, то к квадрату целой части прибавляется половина числа, на единицу меньшего данной целой части смешанного числа, и к сумме прибавляется .
1) Дано: число k + , где k – четное число. Доказать: (k + )2 = k2 + + .
Доказательство: (k + )2 = k2 + 2 • k • + = k2 + + .
2) Дано: число k + , где k – нечетное число. Доказать: (k + )2 = k2 + + + (в данном случае k’ на единицу меньше числа k).
Доказательство: k = k’ + 1, следовательно,
(k + )2 = k2 + + = k2 + + + = k2 + + .
1) k – четное число
.
2) k – нечетное число
.
2.2 Приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий
2.2.1 Сложение
1. Замена нескольких слагаемых их суммой (сочетательный закон).
1) 187 + 247 + 153 = 187 + (247 + 153) (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем, на основании сочетательного закона) = 187 + 400 = 587.
2) 16,53 + 4,47 + 9,84 = (16,53 + 4,47) + 9,84 = 21 + 9,84 = 30,84.
2. Перестановка слагаемых (переместительный закон).
1) 238 + 487 + 362 = 238 + 362 + 487 (делаем перестановку слагаемых, применяя переместительный закон, чтобы получить круглое число при сложении) = (238 + 362) + 487 (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем на основании закона сочетательности) = 600 + 487 = 1087.
2) 3,57 + 4,68 + 6,43 = 3,57 + 6,43 + 4,68 = (3,57 + 6,43) + 4,68 = 14,68.
3) 235 + 47 + 7 + 265 + 3 + 53 = 235 + 265 + 47 + 53 + 7 + 3 = (235 + 265) + (47 + 53) + (7 + 3) = 500 + 100 + 10 = 610.
4) 8,3 + 3,85 + 9,7 + 5,15 + 2,25 = 8,3 + 9,7 + 3,85 + 5,15 + 2,25 = (8,3 + 9,7) + (3,85 + 5,15) + 2,25 = 18 + 9 + 2,25 = 29,25.
Близок к указанному способу прием перемещения единиц. Например:
1) 1347 + 2235 = 1347 + 33 + 2202 = (1347 + 33) + 2202 = 1380 + 2202 = 3582.
2) 13,98 + 7,12 = 13,98 + 0,02 + 7,1 = (13,98 + 0,02) + + 7,1 = 14 + 7,1 = 21,1.
Для упрощения вычислений мы разбивали слагаемое на части с целью привести вычисления к сложению целых чисел или круглых десятков, применяя сочетательный закон.
3. Прибавление суммы к числу.
1) 384 + (416 + 548) = 384 + 416 + 548 (на основании следствия сочетательного закона) = (384 + 416) + 548 (сочетательный закон) = 800 + 548 (правило порядка действий) = 1348.
Итак, правило прибавления суммы можно сформулировать следующим образом: чтобы прибавить к числу сумму, достаточно прибавить к нему одно за другим все слагаемые.
2) 3,64 + (4,36 + 9,78) = 3,64 + 4,36 + 9,78 = (3,64 + 4,36) + 9,78 = 8 + 9,78.
4. Прибавление числа к сумме.
1) (337 + 488) + 663 =663 + (337 + 488) (переместительный закон) = 663+ + 337 + 488 (правило прибавления суммы) = (663 + 337) + 488 (сочетательный закон) = 1000 + 488 = 1488.
Примененное здесь свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме чисел прибавить число, достаточно прибавить его к одному из слагаемых.
2) (4,55 + 6,89) + 5,45 = (4,55 + 5.45) + 6,89 = 10 + 6,89 = 16,89.