Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков
x3+12ax2-axy+ay2+a2x-a2y+a3=0, (2.2)
-nx+ny-an=0. (2.3)
Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:
8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y0=0, y1=a, y2=a, y3=a. (2.5)
Абсциссы точек покоя имеют вид:
x0=0, x1= -a, x2= -a, x3= -a. (2.6)
Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .
Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .
1. Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]
Отсюда
(2.7)
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
==0.
,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
.
Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.
2. Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:
,
,
то есть
, .
Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.
3. Исследуем точку .
Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:
, .
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .
4. Исследуем точку .
Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:
,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
,
Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:
, (2.8)
которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:
(2.9)
Введем новое время . Система (2.9) примет вид:
(2.10)
Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
(2.11)
Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем
Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,).
Исследуем характер точек N1, N2.
1. Исследуем точку N1(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:
(2.12)
Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:
Получим, что
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1(0,0) - устойчивый узел.
2. Исследуем точку N2(0,).
Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2(0,)-седло.
Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:
(2.14)
Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:
(2.15)
При z=0, получаем:
(2.16)
Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем
Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3(0,0) – устойчивый узел.
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
a | О | А | В | С | ∞ | ||
N1 | N2 | N3 | |||||
(-∞;0) | с |
У+ |
с | У- | У+ | с | У+ |
(0;+∞) | с | У- | с | У+ | У+ | с | У+ |
Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.
Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).
а) (a>0)
б) (a<0)
Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.
Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1, w - сепаратрисы – к точке С и N3.
В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.
2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.
4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.
6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.
11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Поведение траекторий системы (2.1)
а) (а>0)
б) (а<0)
Рис. 2