Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка
б) 
(1.50)
(1.51)
Из (1.50) найдем 
:
Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.50) - (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:
, 
- любое число, 
(1.52)
, 
, 
, 
, 
(1.53)
Равенства (1.9) - (1.11) и (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) - (1.53), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1=0 (1.54)
a2
(1.55)
a
(1.56)
s
(1.57)
b
(1.58)
g
(1.59)
d
(1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.54) - (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.52) - (1.53).
2. Качественное исследование построенных классов систем
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)
Будем проводить наше
исследование в предположении, что 
, 
, 
.
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) - (1.31), тогда система (1.1) запишется в виде:
(2.1)
Интегральные кривые в этом случае имеют вид:
(2.2)
(2.3)
Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:
(2.4)
Из (2.4) получаем, что
, 
, 
, 
.
Ординаты точек покоя имеют вид:
, 
, 
, 
.
Итак, имеем точки
, 
, 
, 
.
Исследуем поведение
траекторий в окрестностях состояний равновесия 
,
, 
, 
.
Исследуем точку 
.
Составим характеристическое
уравнение в точке 
.
Отсюда
(2.5)
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
=
=0.
,
Или
.
Характеристическими числами
для точки
системы (2.1) будут
.
Корни 
- действительные,
различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно,
точка 
- седло.
Исследуем точку
.
Составим характеристическое уравнение в точке
.
Согласно
равенствам (2.5) характеристическое уравнение примет вид:
,
Или
.
Характеристическими числами
для точки 
системы (2.1) будут
,
то есть
, 
.
Корни 
- действительные и одного
знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка
-
неустойчивый узел, если d>0, то точка
-
устойчивый узел.
Исследуем точку 
.
Применяя равенства (2.5), составим характеристическое уравнение в точке
:
Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут
,
то есть
, 
.
Корни 
- действительные и одного
знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка 
- устойчивый узел, если d>0, то точка 
- неустойчивый узел.
Исследуем точку
.
Составим характеристическое уравнение в точке
.
Применяя равенства (2.5), получим:
,
Или
Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут
,
то есть
, 
.
Корни 
- действительные и
различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка
-
седло.
Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости в конце оси oy. Преобразование
[7]
переводит систему (2.1) в систему:
(2.6)
где 
.
Для исследования состояний
равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку 
. Составим
характеристическое уравнение в точке
.
Получим, что
Корни 
- действительные и одного
знака. Следовательно, точка 
- устойчивый
узел.
Исследуем бесконечно - удаленную
часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7] 
Это
преобразование систему (2.1) переводит в систему:
(2.7)
где 
.
Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:
Получаем, что 
. Следовательно, состояний
равновесия вне концов оси oy нету.
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
| d |
|
|
|
|
∞ |
| x=0 | |||||
| (-∞; 0) | седло | неуст. узел | уст. узел | седло | уст. узел |
| (0; +∞) | седло | уст. узел | неуст. узел | седло | уст. узел |
Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.1 (а, б).
Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).
Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.
а (d<0)
б (d>0)
Рис. 1
2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)
Будем проводить наше исследование в предположении, что
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:
(2.8)
Интегральные кривые в этом случае имеют вид:
(2.9)
(2.10)
Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)
1. Найдем состояния равновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю
Рассмотрим два случая:
Получаем:
Из первого уравнения найдем y:
и подставляя y во второе уравнение получим:
Решая это уравнение, находим:
.
Итак, получаем
, 
, 
Итак, получаем точки
, 
, 
, 
и прямую x=0, которая является траекторией системы (2.8).
2. Исследуем поведение
траекторий в окрестностях состояний равновесия 
Исследуем точку 
.
Составим характеристическое
уравнение в точке 
.
