Быстрый поиск

Дипломная работа: Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

6.1. Ориентация плоских фигур

Введём понятие ориентации плоских фигур, причём здесь можно ограничиться лишь рассмотрением ориентации треугольников: каждый треугольник может быть ориентирован двумя способами, то есть обход его контура может совершаться в двух взаимно противоположных направлениях – «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Аффинные преобразования первого рода сохраняют ориентацию всех треугольников, а аффинные преобразования второго рода меняют её на противоположную.

6.2. Ориентация пар векторов

Если на плоскости задана система координат, то одну из двух ориентаций плоских фигур называют обычно положительной, а другую – отрицательной. За положительную принимается ориентация, определяемая обходом координатного треугольника ОЕ1Е2 (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора к вектору (на угол, меньший 1800). В связи с этим введём также понятие ориентации пары векторов: будем называть пару векторов и ориентированной положительно, если направление вращения (на наименьший возможный угол) от к совпадает с направлением вращения от к ; в противном случае пару векторов и назовём ориентированной отрицательно.

Рис. 1

Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов и , заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если угол между векторами положительно ориентирован, то его синус положителен, в противном случае отрицателен.

Используем формулу синуса угла между векторами, заданными своими комплексными координатами: . Найдём синус угла между векторами (p) и (q): . Здесь числитель – чисто мнимое число, следовательно, знак синуса угла зависит от знака числа .

Образом вектора (p) при аффинном преобразовании (2) будет вектор с комплексной координатой , вектор , являющийся образом вектора (q) при этом же аффинном преобразовании будет иметь комплексную координату . Найдём теперь синус угла между векторами и : . Упростив правую часть равенства, получим: . Знак синуса угла между векторами и зависит от знаков выражений и так как второе из них присутствует в выражении , то именно от выражения зависит, будет ли знак синуса угла между векторами и отличаться от знак синуса угла между векторами и . То есть если значение выражения положительно, то ориентация пары векторов и будет совпадать с ориентацией пары векторов и . В противном случае при аффинном преобразовании (2) ориентация пары векторов сменится на противоположную.

Таким образом, аффинное преобразование (2) сохраняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель положителен. В этом случае преобразование (2) является аффинным преобразованием первого рода. Иначе, аффинное преобразование меняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель отрицателен. И в таком случае преобразование (2) является аффинным преобразованием второго рода.

§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований

7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований

Найдём координаты неподвижных точек аффинного преобразования (2). Для неподвижных точек, то есть для точек, переходящих в себя при аффинном преобразовании, должно выполняться следующее условие: z’=z, то есть

. (7)

Выразим отсюда z. Для этого решим следующую систему

( где ) (8)

Получили координату точки, являющейся инвариантом аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c.

Тогда для аффинного преобразования возможны три случая [1]:

1) неподвижных точек не существует;

2) неподвижная точка единственная;

3) неподвижных точек бесконечно много.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Неподвижных точек не существует тогда и только тогда, когда для коэффициентов преобразования выполняется условие: Преобразовав второе условие системы, получим . (9)

Выполнимость этой системы и является условием того, что для данного аффинного преобразования неподвижных точек не существует.

2. Неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда

, то есть (10)

3. Неподвижных точек бесконечно много тогда и только тогда, когда выполняется условие что равносильно системе

(11)

Возьмём условие неподвижности точки: (12)

и рассмотрим два случая:

1) Пусть с≠0, тогда умножим (12) на с, получим: . Воспользовавшись системой (11), получим равенство:

, (13)

где коэффициенты при z и сопряжены, а свободный член является действительным числом, следовательно, равенство (13) при условии (11) задаёт прямую неподвижных точек.

2) Пусть теперь с=0, тогда (12) представится в виде . Выразим отсюда z: , откуда Приравняем правые части и получим равенство , что равносильно условию . Поделим на z≠0, в результате чего получим . То есть условие (11) задаёт прямую неподвижных точек (12), которая называется осью аффинного преобразования. Если такая прямая есть, то аффинное преобразование называется родством.

Если а=1, то - единственная неподвижная точка, и аффинное преобразование называется центроаффинным.

Если b=0 и c≠0, то аффинное преобразование является параллельным переносом.

Если b=0 и c=0, то аффинное преобразование является тождественным.

7.2. Двойные прямые аффинных преобразований

Найдём условие, при котором прямая при аффинном преобразовании (2) перейдёт сама в себя, то есть будет являться инвариантом аффинного преобразования.

Возьмём уравнение прямой (3), которая при аффинном преобразовании перейдёт в прямую . Для того, чтобы прямая (3) перешла сама в себя, необходимо выполнение следующих условий: где R. (14) Преобразуем первые два равенства системы (14) к виду Приравняем теперь первые два равенства и после преобразования получим: представим первое равенство системы в виде совокупности двух условий теперь эту систему можно представить как совокупность двух систем (15) Рассмотрим каждую систему полученной совокупности отдельно.

1) Первая система совокупности приводится к виду и теперь уже она может быть представлена в виде совокупности двух систем Отметим, что если для прямой (3) выполняется первая система, то нет и самой прямой (3). Решая вторую систему, также получим, что нет самой прямой (оба коэффициента равны нулю). Таким образом получили, что первая система совокупности (15) не имеет решений.

2) Рассмотрим вторую систему совокупности (15) . Выразим из второго равенства системы коэффициент q и воспользуемся тем, что (из второго равенства (14)), тогда рассматриваемая система будет выглядеть следующим образом:

(16)

Преобразуем отдельно каждое равенство системы (16).

А) Первое равенство системы после некоторых преобразований примет вид , откуда и выполнение этого условия является очевидным, следовательно, первое равенство системы (16) ничего существенного нам не давало.

Б) Рассмотрим теперь второе равенство, преобразуем его правую часть , тогда полученное соотношение на коэффициенты прямой (2): (17) является условием того, что прямая (3) - двойная прямая аффинного преобразования (2).

Докажем, что если для коэффициентов прямой (3) p и q верно равенство (17), то она является двойной прямой аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c и определителем .Возьмём прямую . При аффинном преобразовании с коэффициентами a, b, c она перейдёт на прямую . Покажем, что будут выполняться равенства где k – коэффициент пропорциональности. Найдём k из последнего равенства системы . Подставим вместо q его выражение через коэффициенты аффинного преобразования и коэффициент р, упростим выражение и получим . Очевидно, что при таком k верны и два первых уравнения системы, следовательно, прямая является двойной, что и требовалось доказать.

Глава II. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P и Q отображает в такие две точки P’ и Q’, что P’Q’=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2]